动态规划（DP）---- 硬币问题（3）

今天是24年的第一天，博主在这里祝大家元旦快乐，风驰电掣，如龙腾空。

在上一篇的文章，我们讲到了如何选出硬币全部组合数，这期给大家带来的是最后一期的硬币问题，限制硬币的数量我们应该怎么办？

在开始前，我们先回顾一下上期讲述的硬币组合数的状态方程，如下.....

dp[j] = dp[j] + dp[j - w[i]];

这里的dp[j]数组的含义代表j金额所对应的硬币组合数，那么我们在这道题的基础上进行分析，限制应该怎么办？

我们可以这样想，在我们前面的硬币问题是所加和的硬币金额作为限制条件，其就是j，那么我们可以建立二维数组来存放硬币的数量。也就是设dp[j][num]，其中j代表金额，num代表硬币数量,dp数组代表用i个硬币可以组成金额j的方案数量,也就是建立一个“转移矩阵”。那么我们上面的状态转移方程来变形一下就可以得到....

dp[j][num] = dp[j][num] + dp[j - w[i]][num - 1];

在这里我们可以仿照硬币问题（2）中状态转移方程的推导进行分析，也就是自己本身的方案数+每一种硬币的方案数，如果选择一个硬币加入的话其总硬币数就要减去一个。那么见代码....

#include
const int N = 1000;
int w[N];
int dp[N][N];
int money;
int coin;
int arr[N];
void solve()
{
	dp[0][0] = 1;//初始化
	for(int i = 0;i < 5;i++)//枚举硬币
	{
		for(int j = w[i];j <= money;j++)//遍历总金额
		{
			for(int num = 0;num <= coin;num++)//枚举硬币数量
			{
				dp[j][num] = dp[j][num] + dp[j - w[i]][num - 1];//状态转移方程
			}
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%d %d",&money,&coin);
	for(int i = 0;i < 5;i++)
	{
		scanf("%d",&w[i]);
	}
	solve();
	for(int i = 0;i <= money;i++)
	{
		for(int j = 0;j <= coin;j++)
		{
			arr[i] += dp[i][j];//将coin限制的硬币的组合数加和
		}
	}
	printf("%d",arr[money]);
	return 0;
}

这里小编要强调一下哦，那个三重for循环的遍历顺序如何思考，我们可以想象成一个一维数组作为行，也就是数学换元的思想将其整体变成了行，而coin作为列，然后就是二维数组的演示图了。当然，这样想比较好理解，网友要是有别的想法也是可以的，这里我个人是这样理解觉得比较好，也欢迎大佬吧这里的遍历想法扣在评论区内。

好了本期视频分享到这里了，感谢收看，祝福各位在龙年有新的收获啦，我们下期再见。