【LeetCode-53】最大子数组和（贪心&动归）

LeetCode53.最大子数组和

力扣题目链接: https://leetcode.cn/problems/maximum-subarray/description/

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例:

• 输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
• 输出: 6
• 解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6

解法1：贪心算法

如果 -2 1 在一起，计算起点的时候，一定是从 1 开始计算，因为负数只会拉低总和，这就是贪心贪的地方！
局部最优：当前“连续和”为负数的时候立刻放弃，从下一个元素重新计算“连续和”，因为负数加上下一个元素 “连续和”只会越来越小。

全局最优：选取最大“连续和”

局部最优的情况下，并记录最大的“连续和”，可以推出全局最优。

从代码角度上来讲：遍历 nums，从头开始用 count 累积，如果 count 一旦加上 nums[i]变为负数，那么就应该从 nums[i+1]开始从 0 累积 count 了，因为已经变为负数的 count，只会拖累总和。

Java版本解法：

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        if (nums.length == 1) return nums[0];

        int count = 0;
        int sum = Integer.MIN_VALUE;

        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            count+=nums[i]; // 每一次只记录下最大的值，如果前面的数相加一直为正则可以继续往后相加
            sum = Math.max(sum, count);
            if (count <= 0) count = 0;
        }
        return sum;
    }
}

解法2：动态规划

这个题我们也可以使用动态规划来做，因为我们遍历数组的时候每一个的dp[i]最大值，都是通过dp[i-1]进行推导而出。我们做动态规划的题的时候，根据我学习的代码随想录里面的方法，分为了五个步骤：

• 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i]：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和为dp[i]。

• 确定递推公式

dp[i]只有两个方向可以推出来：

• dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和
• nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和

一定是取最大的，所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);

• dp数组如何初始化

从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态，dp[0]就是递推公式的基础。

dp[0]应该是多少呢?

根据dp[i]的定义，很明显dp[0]应为nums[0]即dp[0] = nums[0]。

• 确定遍历顺序

递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历

• 举例推导dp数组

手动的推导一下推导过程

    public int maxSubArray1(int[] nums) {
        if (nums.length == 1) return nums[0];
        int[] dp = new int[nums.length];
        int max = nums[0];
        dp[0] = nums[0];

        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            dp[i] = Math.max(nums[i], dp[i-1] + nums[i]);
            max = Math.max(max, dp[i]);
        }

        return max;
    }

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)