模型之何为数学模型

前言

当我们考察一个物理问题的解答时，十有八九能够从其中科学贡献部分和数学贡献部分划出一道清晰的界线。科学家在观察和实验的基础上，作一些简洁性与解释有效性的一般性考虑，建立一种理论。数学家，或者做数学的科学家，则研究理论的纯粹逻辑结果。有时候，这些情形是常规计算的结果，常规计算所预言的现象正是理论在提出时所要解释的。在某些偶然的情况下，理论所作出的预言则完全出乎意料。如果这些意料之外的现象后来被实验所证实，那么我们就得到了支持这种理论的重要证据。

例子1

然而，由于我上面所讨论到的简化问题，“证实一项科学预言”的概念就多多少少有了些问题。让我们考虑另一个例子：牛顿的运动定律和引力定律告诉我们，两个物体从同样的高度开始作自由落体运动，它们将同时到达地面（如果地面平坦）。这种现象由伽利略首先提出，它有点违背我们的直觉。实际上，它违背的不仅是我们的直觉：如果你亲自试一试，比方说用高尔夫球和乒乓球，你会发现高尔夫球首先落地。既然如此，究竟在什么意义上伽利略的论断是正确的呢？

实验证明

当然，由于空气阻力的存在，我们不可能把这个小实验当作伽利略理论的反例：实验证明，当空气阻力很小时理论是正确的。如果你对此有所怀疑，觉得空气阻力实在稀松平常，怎能总是挽救牛顿力学的预测于失败之际，那么，找个机会去观察一下羽毛在真空中的下落，你就能重拾对科学的信念以及对伽利略的赞赏—真空中，羽毛的下落的确与石头别无二致。

现实世界与模型的关系

尽管如此，由于科学观察永远不是完全直接性和决定性的，我们仍需要一种更好的方式来描述科学与数学之间的关系。数学家并不是将科学理论直接应用于现实世界中，而是应用于模型上。在这里，模型可以看作是所要研究的那部分现实世界的一种虚构、简化的版本。在模型里，我们就有可能进行完全精确的计算。在扔石头的例子中，现实世界与模型的关系正如同图1和图2所展示的那样。

选择模型：近距离经验与深入理论的权衡

对于一种给定的物理情形，有多种方法将其模型化。我们需要结合切近的经验与深入的理论考量来决定，哪种模型更有可能向我们透露世界的本真。选择模型时，有一个需要优先考虑的因素，即模型的行为应当与实际中观察到的行为密切对应。但是，诸如简洁、数学表达上的优雅等其他因素可能反而时常会更重要一些。实际上，确实有一些模型在现实世界中几乎找不到任何相似之物，但同时却非常有用。接下来的文章里有一些例子将会对此进行说明。

总结

在物理问题的解答中，科学贡献和数学贡献可以在概念上区分开来。科学家基于观察和实验，建立简洁有效的理论；而数学家则研究理论的逻辑结果。科学预言的证实概念存在一些问题，因为简化的问题可能导致与直觉相悖的结果。例如，伽利略的自由落体定律在考虑空气阻力较小时是正确的，但在实际情况中可能并不适用。此外，科学观察永远不是完全直接和决定性的，因此模型的应用非常重要。模型可以被视为现实世界的虚构且简化的版本，在模型中可以进行完全精确的计算。在选择模型时，需要综合近距离的经验和深入的理论考量，确保模型的行为与观察到的现实世界行为密切对应。尽管有些模型在现实世界中找不到相似之物，但它们仍然非常有用。在实际情况中，简洁性和数学优雅性等因素也可能比直觉更重要。

选择合适的模型要进行权衡，结合近距离经验和深入理论，以揭示世界的本质。