矩阵代数（六）- 子空间

小结

1. 的子空间
2. 矩阵的列空间与零空间
3. 子空间的基

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的子空间

定义 中的一个子空间是中的集合，具有一下三个性质：

换句话说，子空间对加法和标量乘法运算是封闭的。

若和是中的向量，，证明是的子空间。
证明：

2. 任意两个向量。
   
   也是和的线性组合，因此属于。
3. 对任意数。
   也是和的线性组合，因此属于。

若不等零而是的倍数，则和仅生成通过原点的直线。所以通过原点的直线同样是子空间。不通过原点的一条直线不是子空间，因它不包括原点，且在加法或标量乘法下不是封闭的。

设属于，的所有线性组合是的子空间，我们称为由生成（或张成）的子空间。注意是它本身的子空间。另一个特殊的子空间是仅含零空间的集合，称为零子空间。

矩阵的列空间与零空间

应用中，的子空间通常出现在一下两种情况中，它们都与矩阵有关。
矩阵的列空间是的各列的线性组合的集合，记作。
若，它们各列属于，则和相同。当的列生成时，等于。

设，确定是否属于的列空间。
解：是否属于的列空间等同于确定方程是否有解。把增广矩阵进行行化简。
～～
可知相容，从而属于。
当线性方程组写成的形式时，的列空间是所有使方程组有解的向量的集合。

矩阵的零空间是齐次方程的所有解的集合，记为。当有列时，的解属于，的零空间是的子集。

定理 12 矩阵的零空间是的子空间。等价地，个未知数的个齐次线性方程的方程组的所有解的集合是的子空间。

子空间的基

因为子空间一般含有无穷多个向量，故子空间的问题最好能够通过研究生成这个子空间的一个小的有限集合来解决，这个集合越小越好。可以证明，最小可能的生成集合必是线性无关的。
中子空间的一组基是中一个线性无关集，它生成。

可逆矩阵的各列构成的一组基，因为它们线性无关，而且生成。一个这样的矩阵是单位矩阵，它的各列用表示：
。称为的标准基。

求矩阵的零空间的基。
解：首先把方程的解写成参数向量形式：
～

是的一组基。

求矩阵的列空间的基。
解：用表示的列，容易得到。是主元列的组合，这意味着的任意组合实际上仅是的组合。
若是的任意向量

所有的主元列构成的基。