LeetCode 41 缺失的第一个正数

题目描述

缺失的第一个正数

给你一个未排序的整数数组 nums ，请你找出其中没有出现的最小的正整数。

请你实现时间复杂度为 O(n) 并且只使用常数级别额外空间的解决方案。

示例 1：

输入：nums = [1,2,0]
输出：3

示例 2：

输入：nums = [3,4,-1,1]
输出：2

示例 3：

输入：nums = [7,8,9,11,12]
输出：1

提示：

• 1 <= nums.length <= 5 * 105
• -231 <= nums[i] <= 231 - 1

解法

如果本题没有额外的时空复杂度要求，那么就很容易实现：

• 我们可以将数组所有的数放入哈希表，随后从 111 开始依次枚举正整数，并判断其是否在哈希表中；
• 我们可以从 111 开始依次枚举正整数，并遍历数组，判断其是否在数组中。

如果数组的长度为 N，那么第一种做法的时间复杂度为 O(N)，空间复杂度为 O(N)；第二种做法的时间复杂度为 O(N^2)，空间复杂度为 O(1)。但它们都不满足时间复杂度为 O(N) 且空间复杂度为 O(1)。

但是我们可以利用给定数组中的空间来存储一些状态。也就是说，如果题目给定的数组是不可修改的，那么就不存在满足时空复杂度要求的算法；但如果我们可以修改给定的数组，那么是存在满足要求的算法的。

对于上面中提到的第一种做法：

我们可以将数组所有的数放入哈希表，随后从 111 开始依次枚举正整数，并判断其是否在哈希表中。

仔细想一想，我们为什么要使用哈希表？这是因为哈希表是一个可以支持快速查找的数据结构：给定一个元素，我们可以在 O(1)的时间查找该元素是否在哈希表中。因此，我们可以考虑将给定的数组设计成哈希表的「替代产品」。

**实际上，对于一个长度为 N 的数组，其中没有出现的最小正整数只能在 [1,N+1] 中。**这是因为如果 [1, N] 都出现了，那么答案是 N+1，否则答案是 [1,N] 中没有出现的最小正整数。

这样一来，我们将所有在 [1, N]范围内的数放入哈希表，也可以得到最终的答案。而给定的数组恰好长度为 N，这让我们有了一种将数组设计成哈希表的思路：

我们对数组进行遍历，对于遍历到的数 x，如果它在[1,N] 的范围内，那么就将数组中的第 x−1个位置（注意：数组下标从 0开始）打上「标记」。在遍历结束之后，如果所有的位置都被打上了标记，那么答案是 N+1，否则答案是最小的没有打上标记的位置加 1。

那么如何设计这个「标记」呢？由于数组中的数没有任何限制，因此这并不是一件容易的事情。但我们可以继续利用上面的提到的性质：由于我们只在意 [1, N] 中的数，因此我们可以先对数组进行遍历，把不在 [1, N] 范围内的数修改成任意一个大于 N 的数（例如 N+1）。这样一来，数组中的所有数就都是正数了，因此我们就可以将「标记」表示为「负号」。算法的流程如下：

• 我们将数组中所有小于等于 0 的数修改为 N+1；
• 我们遍历数组中的每一个数 x，它可能已经被打了标记，因此原本对应的数为 |x|，其中 | | 为绝对值符号。如果 ∣x∣∈[1,N]，那么我们给数组中的第 |x| - 1 个位置的数添加一个负号。注意如果它已经有负号，不需要重复添加；
• 在遍历完成之后，如果数组中的每一个数都是负数，那么答案是 N+1，否则答案是第一个正数的位置加 1。

java代码：

class Solution {
    public int firstMissingPositive(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        // 将负数变为n + 1
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (nums[i] <= 0) {
                nums[i] = n + 1;
            }
        }
        // 将元素<=n对应的位置变为负数，表示在该位置的元素在1 ~ n范围内
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int num = Math.abs(nums[i]);
            if (num <=  n) {
                // 注意由于有相同的元素，有可能原来nums[num - 1]的元素由正数变负数，然后又变为正数，所以使用绝对值的负数
                nums[num - 1] = - Math.abs(nums[num - 1]);
            }
        }
        // 返回第一个大于0的元素下标 + 1
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            if (nums[i] > 0) {
                return i + 1;
            }
        }
        return n + 1;
    }
}

复杂度

• 时间复杂度：O(N)，其中 N 为数组的长度
• 空间复杂度：O(1)。