数学能力的组成部分：个位数计算

（摘自《儿童心理学手册》第六版，第四卷【应用儿童心理学】，第四章【数学思维与学习】）

个位数计算

毋庸置疑，个位数加减法是在数字认知和学校数学中最经常被调查的领域。这一领域的很多工作是依据认知/理性，尤其是信息加工的观点完成的。很多过去的和最近的研究对儿童口算个位数加法（比如3+4=____）进行了详尽的描述：从最初使用具体的实体查数策略、经过几种更高级的，利用某一算术原理来缩短和简化计算的查数策略（比如不使用实体查数，从第一个开始查数，从最大的一个开始，以及事实导出策略），到“了解事实”的最终状态。

虽然这一发展顺序在某种程度上定义得不是很清楚，但已有研究者描述了类似减法的水平。

这些研究及另外一些研究表明，在这一发展过程中任何一个给定的时间内，相同的年龄段在相同的题目上，儿童个体是如何运用各种不同的加法策略的。即使年长的学生和成人在“使用已知条件”上也不总是表现出高级的发展水平，但是仍然证明即使对于简单加法问题也会存在很多不同的解题过程。

已经达到这种发展过程最终阶段的算术事实表明，组织是数字认知研究中的特殊领域。这类研究的大部分研究对象是成人而非小学生。大多数模型认为，在“丰富的事实检索数据”中，算术事实比如2+3=5被记住并从储存的关联网络或词汇表中提取。普遍认为，众所周知的“问题大小效应”（比如解决个位数加法问题所需的时间随着运算数值增大而稍微增加）以及“等值效应”（比如对等值的反应时间，如2+2随运算数值变大而保持不变或者只增加一点）反映了记忆检索的持续时间和困难程度。根据Ashcraft的论述(1995)，两种效应真实地反映出算术事实被个体需要和练习的频率。然而普遍认为，不是所有熟练者都是以分开且独立的单位来心理表征他们的个位数算数知识。他们关于简单加法的一部分知识看上去按规则存储（比如N+0=N）而不是孤立的算式（比如1+0=1，2+0=2）。一个相关的假设认为，不是所有的问题都能被表征。比如，对于每一对问题（比如3+5和5+3），在记忆网络中可能只有一个表征单元。

众所周知，从查数到提取数的发展过程对所有的儿童来说并不是平稳发展的。许多研究者针对有数学学习困难或有学习问题儿童的个位数算术进行了研究。他们研究表明，有学习障碍（learning-disabled）的学生和其他有数学学习困难的学生使用的步骤，与这里描述的程序一样。更确切地说，他们只是比其他人掌握得慢。特别是算术事实的掌握的最后一步，对他们来说似乎非常困难，对于这些孩子中的一部分来说，这些提取困难反映了一个长期持续的，也许是终生的缺陷而不仅仅是一种暂时的发展延迟。

还有一些调查研究通过发现哪种知识的发展在先，来弄清陈述性知识和程序性知识之间的关系。至于上面提到的个位数加减法，这个问题集中在儿童对特定数学原则的理解，特别是交换性原则，基于这些数学原则，他们掌握了一些更有效的查数策略的进步之间的关系（比如从较大数开始查的策略，还有最小数策略）。这一研究指出，陈述性知识和程序性知识是呈正相关的，但是大多数儿童在他们产生程序之前已经理解了交换性的概念。后面的发现似乎更受欢迎，至少对个位数加法领域是这样，“概念第一”居“能力第一”观点之上。虽然如此，鉴于过去几十年关于陈述性知识和程序性知识之间的关系的争论，一直由这两大阵营的支持者支配，现在大多数研究者坚持更中立的观点。他们设想，一方面，陈述性知识和程序性知识之间的关系比两种对立观点所说的更加同时并且有重叠；另一方面，这一关系的本质或许会因不同的数学（子）领域而不同。

虽然关于儿童个位数的乘除策略的研究比个位数加减的研究少，但是这一领域的研究正在逐渐增多。总而言之，对于个位数加减法的研究表明，儿童从具体查数策略（材料、手指或纸张），通过相关添加的计算（重复相加和加倍）、形式转换（比如乘以9变成乘以10-1）和提取事实策略（比如以7×7=49提取7×8）进步到一个获得的乘积。虽然如此，乘除法比起加减法名称和不同类别的表示之间缺少连贯性。对乘除法这两种运算的研究表明，使用策略的多样性和灵活性是人们作简单数字复合运算的基本特点，年长儿童和成人都是如此。在这里，关于乘法事实存储的组织和机能的确切特点的研究是明确的，更确切地说，（部分）熟练者的乘法表在什么程度上按规则存储（0×N=0，1×N=N，10×N=N0，等等），而不是加强特定的数学表达和正确答案之间结合的联系。基于最近关于三年级和五年级学生解决较大运算数放在第一位（7×3=____）或者第二位（3×7=____）乘法问题的一个研究，Butterworth等人总结如下：

儿童学习乘法也许并不是被动地、简单地在表达式和答案之间建立关联作为练习的结果。更确切地说，记忆中的组合可能以一种规则的方式被重组，这种方式考虑到了对预算的进一步理解，包括交换性规则和其他乘法的特性。

Baroody（1993）对在掌握乘法基本事实知识的学习中相关知识的作用，特别是在学习包括2（2×6，2×11，2×5……）的乘法结合时关于数字叠加知识的作用研究分析后，得到了类似的结论。

从信息加工的角度来看，在个位数算术中使用多样的策略以及将这种发展模型化，其中最大胆最有影响力的尝试当属Siegler及其同事开发的，在简单加法领域中策略选择和策略变化的计算机模型的各个版本。我们简要地描述策略选择和发现模拟的最新版本SCADS（Strategy Choice and Discorery Simulation）。SCADS的核心是一个关于问题和策略信息的数据库，它在策略的选择过程中起关键作用。第一种信息类型，是关于问题的信息，由问题-回答关联的列表组成，也就是说，个别问题和对这些问题潜在的回答之间的联系，这些联系的强度是不同的。第二种信息类型包括数据库中每一个策略整体的、特征的、具体问题的、独特的可利用的数据。无论何时呈现给SCADS一个问题，该模型会根据它们反映的信息量和它们最近生成的频率来权衡这些数据。对每一种策略权衡功效和独特性的数据为逐步回归分析提供了输入信息，回归分析计算了不同策略对问题的预测度，预测强度最高的策略被选择的可能性也最大。如果最早选择的策略不适用，下一个稍小预测强度的策略就会被选中，这一个过程直到选中一个符合模型标准的策略为止。SCADS的一个重要的进步（与以前的模型相比），是它发现了新的策略并且学习它们。它通过把每个策略表征为算术符号的一个模块序列(而不仅仅是一个单元)，并且通过保持策略执行的工作记忆痕迹来实现上面的优点（而不仅仅是记录速度和准确性）。基于行为多余顺序的探测以及执行算术符号更有效顺序的确认，元认知系统运用策略的表征和记忆痕迹来表达新的策略。SCADS评价这些建议的策略与“目标概述”的一致性，目标概述表明了在简单加法领域合乎逻辑的策略必须满足标准。如果建议的策略违反了目标概述中详述的概念限制，它就被舍弃了。如果建议的策略符合概念的限制（通过的策略），SCADS就会把它加入策略项目之中。这样，新发现的策略就改变了模型的数据库，因而影响未来的策略选择。根据SCADS的开发者所说，它的个位数加法以及一个加数超过20的加法与他们在研究中观察到的儿童策略选择和发现的现象具有高度的一致性。

简单加法已经测试过了Siegler的策略选择模型，并且乘法测试也做过了，虽然该模型的范围很小。Siegler和Lemaire（1997）对法国二年级学生个位数乘法能力的获得进行了纵向研究。当学生学习乘法时，一年中记录了三次速度、准确率和策略数据。数据显示速度和准确性的提高，反映出伴随学习策略变化的四个不同方面：新策略的使用、较频繁地使用有效策略、有效地执行每个策略，以及更灵活地选择可利用的策略。他们认为这些发现支持了大量的SCADS模型的预测。

一般来说，信息加工范式最强有力的证明是Siegler（2001）的模型，它已经影响并且仍在影响着个位数算术领域的很多研究。然而，这一模型还是遭到了一些批评。首先，虽然SCADS模型包含了很多的策略，但是它直接应用的领域很受限制。将来的模型需要包含更多更广的策略，比如10的分解策略[如，8+7=（8+2）+（7-2）=15，或者等分策略（如，6+7=（6+6）+1=13；2005）]，还需要从个位数加法延伸到多位数加法。模型也很有必要详细地阐述其他算术符号。根据一些学者的说法，这可能只需要多花点时间；另外一些人对计算模型应用范围的容易程度表示出很大的怀疑，如SCADS能否有意义地拓宽到相关领域。然而更重要的是，其他更新的理论观点对模型的批评。从建构主义到社会学习理论框架以及从广泛的数据出发，Baroody和Tiilikainen针对Siegler的早期加法模型及其假设进行了批评。他们质疑SCADS的运算只是关于儿童加法策略的发展和灵活性的几个关键偶然的现象。举个例子，Baroody和Tiilikainen研究指出，即使那些明显已经构建了目标概述的儿童有时也使用没有遵照目标概述中详述的有效的加法策略，而SCADS从不执行非法策略。对该模型的另一个重要的批评是谈及算术能力的发展时，模型几乎没有或者没有考虑社会和教学的背景。儿童使用某些策略的频率、效率和灵活性的确依赖于教学的性质。根据教学，我们在小学数学课本中增加了算术的事实的频率，特定项目呈现的次数，或者儿童对特定项目接受积极反馈或消极反馈的次数。举个例子，一些研究者针对日本儿童使用的加法解决方法的发展路径进行了研究，结果表明，日本儿童比美国儿童运算得快，他们是从查数方法直接到提取事实和已知事实方法，没有经过清楚的更加有效的查数策略的识别阶段。有趣的是，在利用数据线索或把10作为标准在他们的事实提取策略开始计算总和之前，许多日本儿童用数字5作为中间标准来思考数字及其加减法。根据这些作者的说法，日本儿童的这些发展特点与许多文化以及教学的支持和练习密切相关，比如在一般的早期算术教学以及特定的珠算教学中，强调使用5的组合.相类似地，在佛兰芒语儿童的课堂上，Torbeyns等人(2005)发现儿童在10以上求和运算中频繁、有效及灵活地使用等分策略。也就是说，解决几乎-等分（almost-tie）数字总和比如7+8=____，用（7+7）+1=____，而不使用拆解10的策略：（7+3）+5=____。在他们的课堂上，使用了一系列新的教科书，书中强调谨慎地、灵活地使用多种解决策略而不是把拆解成10的策略看成是总和超过10的题唯一的解决方法。

Baroody和Tiilikaine（2003）对SCADS进行了批判，并提出他们的“基于图式观”是一个更有价值的选择，Bisanz(2003)对此评论道：虽然SCADS如何工作是非常清楚的，但是没有详细描述它提到的“概念的、程序的及事实的知识网络”。他总结说：“当解释数据时，一个不具体说明的模型（如Baroody的模型）总是比一个具体说明的模型更有优势，因为后者被它的细节限制了。”尽管Baroody和Tiilikaine的模型与SCADS相比缺乏详细说明，但它指出在个位数算术发展的过程中，不同种类知识之间复杂的相互关系（陈述性知识和程序性知识），以及更广阔的社会文化和教学背景起到的关键作用。

总之，过去十年的已有研究表明，要获得熟练的个位数计算能力只靠死记硬背是远远不够的。整个数字算术领域说明：

a）算术能力的不同部分（策略、原则和数字事实）是如何相互作用的；

b）儿童如何开始理解运算的含义以及他们如何逐渐获得更加有效的方法；

c）他们如何根据包含的数字在不同的策略中灵活选择。

研究者在描述这些现象时已经取得了相当大的进步，而且现在出现了与获得的实验数据某些程度上吻合的复杂的计算机模型。但是尽管如此，在这个领域我们还远远没有透彻理解专门知识。最重要的研究之一就是这些不同部分是如何相互作用，以及一个组成部分何时及如何促进另一个部分的发展的。Siegler和其他研究者谈到，在这一观点上更深入的研究需要运用所谓的微观发生法，其中包括在儿童整个学习过程中重复测量的事实知识、陈述性知识和程序性知识。

Siegler的计算机模拟模型解决了算术反应的练习和巩固量之外的另一个悬而未决的问题——关于文化和教学因素的影响的争议。值得注意的是，许多可使用的计算机模型都假设存在一种通用的分类法或计算策略的发展顺序，这些都是基本的、与教学及更广泛的文化环境无关。这是有道理的，当策略发展开始时，它的一些元素受一般因素制约，比如数学固有的结构在儿童前期没有展开的某些认知能力，而不是教学和文化背景。虽然如此，其他的发展方面较少受制约，而且很多依赖儿童早期在家里或学校里的数学经历，比如很快超越基于查数的方法的资源——文化支持和练习，或者鼓励及表扬灵活性的课堂氛围及文化的熏陶。