数学小报3 - 排列组合 Combination

数学小报3 - 排列组合 Combination

0. 前言

完整内容同步发表于 https://blog.csdn.net/Mr_Azz/article/details/135443217

1. 思考

日常生活中，常常遇到需要选择的时候，比如说选择穿衣服，排队伍，我们不禁会想：这些事情有多少种组合方式呢？这在数学中叫做组合计数问题。

前置知识 （$a_i$ 可以理解为C++里的数组）

以下文章默认 $m\le n$。

连乘符号：$\prod _{i=1}^n{a}_i=a_1\times a_2\times ...\times a_n$

累加符号：$\sum _{i=1}^n{a}_i=a_1+a_2+...+a_n$

阶乘符号：$n!=n\times (n-1)\times ...\times 1$

乘法原理：做一件事需要分 $n$ 个步骤，令 $a_i(1\le i\le n)$ 代表第 $i$ 个步骤的不同方法数目。那么完成这件事共有 $S=a_1\times a_2\times \cdots \times a_n=\prod _{i=1}^n{a}_i$ 种不同的方法。

---

2. 排列数 ${\mathrm{A}}_n^m$

2.1 定义：

排列：从 $n$ 个不同元素中，任取 $m$ 个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个排列。

排列数：从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的所有排列的个数，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的排列数，用符号 ${\mathrm{A}}_n^m$ 表示。

2.2 公式

${\mathrm{A}}_n^m=n\times (n-1)\times ...\times (n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}$

我们顺便还可以计算出全排列的个数（$n$ 个人排队的情况数）$={\mathrm{A}}_n^n=n!$

2.3 如何理解

比如说，你有卡牌 $1，2，3，4$ ，出 $2$ 张牌有几种不同的顺序？最暴力的想法是把所有情况全部枚举一遍：

| 1 2 1 3 1 4 | 2 1 2 3 2 4 | 3 1 3 2 3 4 | 4 1 4 2 4 4 |

但我们换一种角度思考，你第一次出牌有 $4$ 种选择，第二次出牌则有 $3$ 种选择，由乘法原理可知总共有 $4\times 3=12$ 种。归纳一下，如果总共有 $n$ 张卡牌，那么第一次出有 $n$ 种选择，第二次有 $n-1$ 种选择，到第 $m$ 次就有 $m-n+1$ 种选择，根据乘法原理，就有了以下公式。

3. 组合数

3.1 定义

组合：从 n 个不同元素中，任取 $m$ 个元素组成一个集合，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个组合；

组合数：从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的所有组合的个数，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的组合数，用符号 ${\mathrm{C}}_n^m$ 或者 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)$ 来表示，读作「$n$ 选 $m$」，意思就是从 $n$ 个人中选 $m$ 个人去开会的方案数。

3.2 公式

${\mathrm{C}}_n^m=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)=\frac{{\mathrm{A}}_n^m}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$

3.3 如何理解

就好比你们班 $3$ 个人选 $2$ 个人去参加会议有几种方案，枚举一下会发现只有 $3$ 中可能。这与上面出牌有一个差别是出牌讲究顺序，而选出来的人不讲究顺序（123，231，321 都是一样的）。选出来的那些人总共的排列数就是 $m$ 的全排列 $m!$ 种，而这 $m!$ 种只看做 $1$ 种，所以把排列数 ${\mathrm{A}}_n^m$ 除掉 $m!$ 就得到了组合数 ${\mathrm{C}}_n^m$ 的公式了。

---

4. 二项式定理 & 杨辉三角

4.0 前置知识

1. ${\mathrm{C}}_n^m={\mathrm{C}}_n^{n-m}$

证明：从 $n$ 个人选 $m$ 个去参加会议和从 $n$ 个人选 $n-m$ 个不去是一样的。

2. ${\mathrm{C}}_m^n={\mathrm{C}}_{m-1}^n+{\mathrm{C}}_{m-1}^{n-1}$

证明：等式左边表示从 $m$ 个元素中选取 $n$ 个元素，可以是从 $m-1$ 个元素中选 $n-1$ 个再把第 $m$ 个元素选了，或者是从 $m-1$ 个元素中选 $n$ 个不选第 $m$ 个元素。其实这跟下面的杨辉三角是一个道理，所以杨辉三角形第 $n$ 行的第 $m$ 个元素就是 ${\mathrm{C}}_n^m$ （注意，行号和列号从 $0$ 开始）

3. ${\mathrm{C}}_n^0+{\mathrm{C}}_n^1+...+{\mathrm{C}}_n^n=2^n$

可以通过杨辉三角证明，每一行的和都为 $2^n$。

4.1 杨辉三角

每一个值等于上一行两项的和。

                                1
                              1   1
                            1   2   1
                          1   3   3   1
                        1   4   6   4   1
                      1   5  10   10  5   1
                    1   6   15  20  15  6   1

杨辉三角的性质有很多，这里只讲他与组合数的关系。

4.2 二项式定理

$(x+y{)}^n={\mathrm{C}}_n^0{x}^n{y}^0+{\mathrm{C}}_n^1{x}^{n-1}{y}^1+...+{\mathrm{C}}_n^n{x}^0{y}^n=\sum _{i=0}^n{\mathrm{C}}_n^i{x}^{n-i}{y}^i$

4.3 如何理解

看上去很头大是吗？我们来回顾一下 $(x+y{)}^2$ 怎么进行因式分解：
$$(x+y{)}^2=(x+y)(x+y)=x^2+xy+yx+y^2=x^2+y^2+2xy$$
进一步，$(x+y{)}^3$ 怎么因式分解：
$$(x+y{)}^3=(x+y)(x^2+y^2+2xy)=x^3+x{y}^2+2x^{2}y+x^{2}y+y^3+2x{y}^2=x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3$$
观察每个系数：1 3 3 1。你会发现这不仅是 ${\mathrm{C}}_3^0{\mathrm{C}}_3^1{\mathrm{C}}_3^2{\mathrm{C}}_3^3$ ，而且也对应着杨辉三角的第四行。为什么会有这样的“巧合”呢？

考虑一下拆括号完后的项分别是如何得出的：
每个括号可以贡献出一个 $x$ 或者 $y$ 相乘。而且只有当每个括号都选择了一个 $x$ 相乘，才会得到 $x^3$。因此，这种情况只有一种可能，其系数为 1。
接下来是 $x^{2}y$，相当于从 3 个 $x$ 中选择 2 个 $x$ 相乘，这不就是组合数的定义吗？即 ${\mathrm{C}}_3^2$！以此类推，我们可以得到每个项的系数，这就解释了上述公式。