LeetCode 1955. 统计特殊子序列的数目--动态规划

1955. 统计特殊子序列的数目

特殊序列 是由 正整数 个 0 ，紧接着 正整数 个 1 ，最后 正整数 个 2 组成的序列。

比方说，[0,1,2] 和 [0,0,1,1,1,2] 是特殊序列。
相反，[2,1,0] ，[1] 和 [0,1,2,0] 就不是特殊序列。

给你一个数组 nums （仅 包含整数 0，1 和 2），请你返回 不同特殊子序列的数目 。由于答案可能很大，请你将它对 109 + 7 取余 后返回。

一个数组的 子序列 是从原数组中删除零个或者若干个元素后，剩下元素不改变顺序得到的序列。如果两个子序列的 下标集合 不同，那么这两个子序列是 不同的 。

示例 1：

输入：nums = [0,1,2,2]
输出：3
解释：特殊子序列为 [0,1,2,2]，[0,1,2,2] 和 [0,1,2,2] 。

示例 2：

输入：nums = [2,2,0,0]
输出：0
解释：数组 [2,2,0,0] 中没有特殊子序列。

示例 3：

输入：nums = [0,1,2,0,1,2]
输出：7
解释：特殊子序列包括：

• [0,1,2,0,1,2]
• [0,1,2,0,1,2]
• [0,1,2,0,1,2]
• [0,1,2,0,1,2]
• [0,1,2,0,1,2]
• [0,1,2,0,1,2]
• [0,1,2,0,1,2]

提示：

1 <= nums.length <= 105
0 <= nums[i] <= 2

题解

很巧妙的动态规划，一开始一直朝着前缀和去思考，然后分区间计算，然后这样时间上一直过不去，然后思考动态规划。

如何动态规划？
定义dp[maxn][3]，dp[i][0]表示到区间[0,i]之间由整数个0构成的方案数，那么如果nums[i]为0，更新的转移方程为：

if nums[i]==0:
	dp[i][0]=2*dp[i-1][0]+1;//这个意思为前面区间的0可以选择和当前这个0合并构成新的组合，或者当前这个0自己成为一个单独的组合，和前面的0构成新的组和方案数为dp[i-1][0]，加上之前本就有的0的方案数为dp[i-1][0]，自己这个0单独为一个组合，于是为2*dp[i-1][0]+1。
else:
	dp[i][0]=dp[i-1][0];

那么dp[i][1]就可以 表示为由整数个0和紧接的后面的整数个1组成的方案数，那么更新过程为：

if nums[i]==1:
	dp[i][1]=2*dp[i-1][1]+dp[i-1][0];//这个思路和dp[i][0]更新是一样的
else:
	dp[i][1]=dp[i-1][1];

同理，dp[i][2]就表示我们的答案了，整数个0紧接整数个1紧接整数个2.

if nums[i]==2:
	dp[i][2]=2*dp[i-1][2]+dp[i-1][1];
else:
	dp[i][2]=dp[i-1][2];

class Solution {
public:
    typedef long long ll;
    ll mod = 1000000007; 
    ll dp[100005][3];
    int countSpecialSubsequences(vector<int>& nums) 
    {
        dp[0][0]=dp[0][1]=dp[0][2]=0;
        for(int i=0;i<nums.size();i++)
        {
            if(nums[i]==0)
            dp[i+1][0]=2*dp[i][0]+1;
            else
            dp[i+1][0]=dp[i][0];
            if(nums[i]==1)
            dp[i+1][1]=2*dp[i][1]+dp[i][0];
            else
            dp[i+1][1]=dp[i][1];
            if(nums[i]==2)
            dp[i+1][2]=2*dp[i][2]+dp[i][1];
            else
            dp[i+1][2]=dp[i][2];
            dp[i+1][0]%=mod;
            dp[i+1][1]%=mod;
            dp[i+1][2]%=mod;
            //cout<
        }
        return dp[nums.size()][2];
    }
};