二叉树的性质与满二叉树和完全二叉树

性质一：二叉树中，第i层上至多有2^(i-1)个结点(i>=1):

至少需要有一个结点，否则就不存在这一层了。

性质二：深度为k的二叉树至多有(2^k) -1个结点(k>=1):

实际上是等比数列的求和：

2^0 + 2^2 + 2^3 + … + 2^k-1 = = (2^K) -1

性质三：对于任何一棵二叉树T，如果其叶子结点数为n0,度为2的结点数为n2,那么n0 = n2+1

比如满足上图：

叶子结点数： 7 8 9 10 11 12
度为2结点数：1 2 3 4 5

满二叉树：根据性质二知，结点达到最大 (2^k)-1 的二叉树称为满二叉树

特点：

• 每一层的节点数都是最大的节点数
• 叶子结点全部在最下层

编号规则：从上到下，从左到右，每一个结点位置都有元素。

完全二叉树:深度为K的具有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中的编号为1~n的节点一一对应时，称为完全二叉树

上图中满二叉树和完全二叉树上的节点从上到下，从左到右是一一对应的，假设我们将完全二叉树的F节点放成C的右孩子，那么从C的左孩子就没法进行一一对应了。

非完全二叉树的6号元素无法和满二叉树的6号元素对应，一个是右孩子，一个是左孩子。

练习：
图一是满二叉树，也是完全二叉树
图二不是完全二叉树，因为从6号元素开始就无法和满二叉树进行对应
图三是完全二叉树
图四不是完全二叉树，因为从6号开始无法与满二叉树对应，一个是左孩子，一个是右孩子

注：一个小技巧

在满二叉树中，从最后一个结点开始，连续去掉任意个结点，即使一棵完全二叉树。

性质四：具有n个结点的完全二叉树的深度为不大于log2n的最大整数+1

深度 k = 不大于log2n的最大整数+1

性质五：如果一棵有n个结点的完全二叉树的节点按层序编号（从第1层到第不大于log2n的最大整数+1层，从左到右），则对任一结点i(i<= i <=n)，有：

1. 如果i == 1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1,则其双亲结点为i/2的向下取整的值，比如i = 5，则双亲结点为5/2 = 2;
2. 如果2i > n,则结点i为叶子结点，无左孩子；否则，其左孩子是结点2i；
3. 如果2i + 1 > n，则结点i无右孩子；否则，其右孩子是结点2i +１；