直线方程 Ax + By + C = 0 的系数A，B，C有什么几何含义？
想把这个问题说清楚，不太容易。通过这篇文章，希望我能帮大家解决一些疑惑吧。
我们先来看A和B有什么含义。
在直线上取任意两点 P1:（x1, y1）和 P2:（x2, y2），得：
Ax1 + By1 + C = 0
Ax2 + By2 + C = 0
两式相减得：
A(x1 - x2) + B(y1 - y2) = 0
设O为圆点（0，0）, 则：
O P 1 ⇀ = x 1 y 1 \begin{aligned} \overrightharpoon{OP1}= \begin{array} {|c|} x_{1} \\ y_{1}\\ \end{array} \end{aligned} OP1=x1y1
O P 2 ⇀ = x 2 y 2 \begin{aligned} \overrightharpoon{OP2}= \begin{array} {|c|} x_{2} \\ y_{2}\\ \end{array} \end{aligned} OP2=x2y2
P 2 P 1 ⇀ = O P 1 ⇀ − O P 2 ⇀ = x 1 − x 2 y 1 − y 2 \begin{aligned} \overrightharpoon{P2P1}=\overrightharpoon{OP1}-\overrightharpoon{OP2}= \begin{array} {|c|} x_{1} - x_{2} \\ y_{1} - y_{2}\\ \end{array} \end{aligned} P2P1=OP1−OP2=x1−x2y1−y2
P 2 P 1 ⇀ \overrightharpoon{P2P1} P2P1与直线共线，上式A(x1 - x2) + B(y1 - y2) = 0，可写成向量的内积：
A B ⋅ x 1 − x 2 y 1 − y 2 = O N ⇀ ⋅ P 2 P 1 ⇀ \begin{array} {|c|} A \\ B \\ \end{array} \cdot \begin{array} {|c|} x_{1} - x_{2} \\ y_{1} - y_{2}\\ \end{array}=\overrightharpoon{ON}\cdot \overrightharpoon{P2P1} AB⋅x1−x2y1−y2=ON⋅P2P1 = 0
其中：
O N ⇀ = A B \overrightharpoon{ON}=\begin{array} {|c|} A \\ B \\ \end{array} ON=AB
两个向量的内积是0，根据内积的几何意义，这两个向量必然垂直。因此，系数A，B组成的向量是一个垂直于直线的向量。
在此，需要简要说明一下向量内积的几何意义，更深一层的意义，后续会出一篇文章单独来介绍。
V 1 ⇀ ⋅ V 2 ⇀ \overrightharpoon{V1}\cdot\overrightharpoon{V2} V1⋅V2的内积值等于 V 2 ⇀ \overrightharpoon{V2} V2在 V 1 ⇀ \overrightharpoon{V1} V1上的投影长度乘以 V 1 ⇀ \overrightharpoon{V1} V1向量的长度，如下图：
所以当V2与V1垂直时，V2在V1上的投影长度为0，V2与V1的内积为0。投影长度具有方向性，即投影与V1同向，投影长度为正，投影与V1反向，投影长度为负。所以我们可以根据内积的值来判断，两个向量的夹角范围：
值为正：> 0度 && < 90度
值为0：= 90度
值为负：> 90度 && < 180度
好了，回到线性方程 Ax + By = -C，将其写成向量式：
A B ⋅ x y \begin{array} {|c|} A \\ B \\ \end{array}\cdot\begin{array} {|c|} x \\ y \\ \end{array} AB⋅xy = O N ⇀ ⋅ O P ⇀ = \overrightharpoon{ON}\cdot\overrightharpoon{OP}= ON⋅OP= -C
根据内积的几何意义，-C的值是 O P ⇀ \overrightharpoon{OP} OP 在 O N ⇀ \overrightharpoon{ON} ON上的投影长度乘以向量 O N ⇀ \overrightharpoon{ON} ON的向量长度。尤其是当 O N ⇀ \overrightharpoon{ON} ON是单位向量（向量长度为1）时，-C的值是原点距直线的距离。
即使 O N ⇀ \overrightharpoon{ON} ON不是单位向量，我们也可以将其转成单位向量，Ax + By = -C两边同时除以 A 2 + B 2 \sqrt{A^2 + B^2} A2+B2，即：
A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y = − C A 2 + B 2 \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}x + \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}}y= \frac{-C}{\sqrt{A^2 + B^2}} A2+B2Ax+A2+B2By=A2+B2−C
此时：
O N ⇀ \overrightharpoon{ON} ON = A A 2 + B 2 B A 2 + B 2 \begin{array} {|c|} \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}\\ \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}} \\ \end{array} A2+B2AA2+B2B为单位向量，原点距直线的距离则为： − C A 2 + B 2 \frac{-C}{\sqrt{A^2 + B^2}} A2+B2−C
好了，我们总结一下：A、B系数组成的向量垂直于直线，将A，B组成的向量转成单位向量， − C A 2 + B 2 \frac{-C}{\sqrt{A^2 + B^2}} A2+B2−C即是原点距直线的距离。
知道了该几何性质，我们可以计算空间任意一点距离直线的距离。步骤如下：假设空间任意一点P，做一条平行于已知直线并且经过点P的直线 A ′ x + B ′ y = C ′ A'x + B'y = C' A′x+B′y=C′，计算出原点距该直线的距离： − C ′ A ′ 2 + B ′ 2 \frac{-C'}{\sqrt{A'^2 + B'^2}} A′2+B′2−C′。
两距离相减得任意一点距离直线的距离：
distance = − C ′ A ′ 2 + B ′ 2 \frac{-C'}{\sqrt{A'^2 + B'^2}} A′2+B′2−C′ - − C A 2 + B 2 \frac{-C}{\sqrt{A^2 + B^2}} A2+B2−C