【学习总结】地面路谱分析

本文仅用于记录自己的学习总结，包括个人理解。不保证内容严格正确。

0. 参考资料

• [1] 国标GB/T 703-2005/ISO 8608:1995。
• [2] Bilibili-车辆考研-路面不平度统计特性
• [3] Bilibili-清华大学《汽车理论》
• [4] 网络参考文档.
• [5] 论文：高雄《路面不平度统计特性的改进》，工程价值，2023。

网盘：https://pan.baidu.com/s/1ameuQwdOquCrk2V1PIS-Xw?pwd=ut9m

1. 路面空间功率谱密度 $G_q(n)$ 拟合公式

$$G_q(n)=G_q(n_0)(\frac{n}{n_0}{)}^{-W}$$ 公式中符号的含义：
n：空间频率，单位 $m^{-1}$，表示“每米长度有几个波长”，对应常说的“时间频率”，及 $1/s,Hz$
n0：参考空间频率，为固定值，$n_0=0.1m^{-1}$
$G_q(n_0)$：参考空间频率下的路面功率谱密度，即“路面不平度系数”
W：频率指数，一般取 2。没什么原因，就是一般取2。

关于式子的理解：

关于 $G_q(x)$：是 $x$ 频率对应的功率密度，即某个频率对应的能量。
$n_0$：我们选择了一个特定的(空间)频率，即 $n_0=0.1m^{-1}$（注意单位不是Hz，因为$Hz=1/s$），即波长 $\lambda =10m$。
$G_q(n_0)$：对于选定的这个 $n_0$，计算得到的功率密度，就是 $G_q(n_0)$；

那么其他不同频率，对应的功率密度是多少呢？也就是说，当频率取 $n$ 时，功率密度的值 $G_q(n)$ 是多少呢？
可以直接计算。也可以通过上面的那个式子进行拟合，即经过了许多人做了的大量的实验，统计表明，任意频率 $n$ 的值，可以用参考值 $n_0$ 对应的 $G_q(n_0)$，进行拟合。拟合时一般拟合出来的 $W$ 取值都在2左右，因此说上述式子的 $W$ 取2。

讨论：拟合的是否合适呢？

下图来自ISO标准中的图片，横轴是频率，纵轴是功率密度，合起来就是“谱线”，即“功率谱密度”。
可以看出，n从0.01到0.1时，$G_d$*（图片中的d表示distance，和上面用的q是一个含义）下降了2个大格子（从10的-1降到了-3），
所以斜率大概是 $-2$，也就是上面的 $W$ 取值是-2是合适的。

2. 道路分级

$G_q(n_0)$的值有什么意义？如果说，上面拟合曲线时，固定了 $W$，此时曲线的特性（上下平移量）只与 $G_q(n_0)$ 有关，那么可以根据 $G_q(n_0)$ 的数值，对路面进行分级。根据 $G_q(n_0)$ 的取值，分级依据如下：

可以看出，A级路面标准很高，在10m长度（$n_0$取0.1$m^{-1}$）时，数值在$16e^{-6}$左右，在mm以下了。

表中，几何平均是如何计算的？
由参考资料[5]，可以计算出结果。

3. 速度/加速度功率谱密度

速度功率谱密度：$G_v(n)=(2\pi n{)}^2{G}_q(n)$
加速度功率谱密度：$G_a(n)=(2\pi n{)}^4{G}_q(n)$

当 $W=2$ 时，速度的表达式为：$G_v(n)=(2\pi n{)}^2{G}_q(n_0)$，此时与$n$无关了。很独特的情况。

4. 时间频率功率谱密度 $G_q(f)$

上述的谱密度是空间的，没有考虑车速。如果考虑到车速，应该有入如下表达式：
$f=vn$，即 “时间频率=车速*空间频率”，对应量纲 $Hz=m/s\ast m^{-1}$ 也是合理的。

此时，可以得到 位移/速度/加速度的时间频率功率谱密度分别为：
位移：$G_q(f)=\frac{1}{v}{G}_q(n_0)(\frac{n}{n_0}{)}^2=G_q(n_0)n_0^2\frac{v}{f^2}$
速度：$G_v(f)=4{\pi }^2{G}_q(n_0)n_0^{2}v$
加速度：$G_a(f)=16{\pi }^4{G}_q(n_0)n_0^{2}v{f}^2$
可以看出，速度的和$f$无关。

对功率谱密度，左右都取对数，可以得到一条直线；横轴是频率f，纵轴是$G_{q/v/a}(f)$，注意纵轴的单位也不一样。

5. 关于拟合

国际/国标中，考虑的是空间频率 $n=0.0112.83$ 之间的曲线，这个数值应该是经验值。

一些论文中，可能有分段拟合，对测得的 $G_p(n)$ 进行拟合，可以得到$W$和$G_d(n_0)$，后者可以结合上面的表格，判断所属的地面等级。或者画出曲线，和 A~H 这几个国家规定的等级对应的曲线进行比较，可以得出路面的等级。

6. 一些其它操作

关于国标文件中一些计算/说明的理解：

倍频程带宽：
由于在计算功率密度时，需要选择一定的带宽，计算“落入”这个区间的功率，带宽的选择比较重要。国标给出了：倍频程带宽、1/3倍频程、和1/12倍频程，表示不断的精细，下面这个表就是不同选择下每个“中心频率”和左右两端频率的取值。

空间下截止频率：