桌角坠绳——一个有意思的物理情景

一、物理情景：

一个长度为,线密度为的均匀细绳被水平的放置在光滑桌面上，一端紧临着桌子边缘。从某时刻起，给予该绳一微扰动，使其开始沿着桌子的壁下落，如上图所示。这根绳子能保持图片所示的运动状态直至绳子的另一端离开桌面吗？又或者说，它会在中途某一个位置溃缩吗？

二、问题突破口：

分析绳子弯折处的一小段绳。在理想化的情况下，我们能够让其长度无限趋近于0，那么其质量应该无限趋近于0，则可以认为这段绳所受合外力为0。这段绳子的受力分析图如下所示。

是绳中张力，为桌子对这一段绳的张力，可分解为沿着竖直方向的和沿着水平方向的。由于合外力为0，必然有

这时，我们可以发现，如果设法让能够大于桌面上的这一段绳和弯折处的绳子重力之和（事实上，就是桌面上这一段绳的）。那么上面这个整体就无法保持在桌面上滑动这一个状态，转而溃缩飞出。又或者说可以设法让小于0，使得这段绳子溃缩。

三、建模和分析：

1.假设，绳子已经有长度的片段离开桌面，而离开桌面的这一段绳子下落的速度为，加速度为。这三者满足

对于在下落的那一段绳子，根据动量定理列出其运动方程——

对于还在桌面上的那一段绳子，还是根据动量定理列出其运动方程——

将上述两个运动方程相加，并化简得到

将上述两个运动方程相减，并化简得到

2.而桌面上的绳子的重力可以表示为

解不等式组

得到

四、结论

当一半长度的绳子离开桌面时，绳子就会开始溃缩。这时候绳子在桌面的一端应该会飞起，而情景所述的运动就无法实现了。

有意思的是，绳子溃缩不是因为桌面上绳子段的重力小于桌角对绳子弯折处的弹力在垂直方向上的分量，而是绳子的张力方向的改变。

我们把这段坠落的绳子当作理想的柔软刚性绳处理，而柔软刚性绳是不能有受挤压形成的弹力的（只能有受拉伸形成的弹力），所以，当的数值解小于零时，绳子会直接溃缩。

接着，绳子可能会飞起，作一些不可描述的运动。这个过程比较复杂，我难以企及，当然不分析了。

五、其他

其实推演出的时候，我想建立以及其一阶导、二阶导关于时间的方程。这是一个二阶常系数齐次微分方程，却不是一个普通的二阶常系数齐次微分方程，因为它的初始条件是、、，不是简单的求两次导求成自己！

我刚开始以为，一算，寄！其实想想也是错的，那是简谐振动，怎么可能满足这个？我又调整为,二算，又寄！对啊，简谐振动不行，简谐振动的组合怎么可能就行了？我又调整为,初值代进去就不对，加个常数更不对，求导都求不到自己了！最后我绝望地尝试双曲余弦和双曲正弦，还是不行，寄！

做到这里，烦死了！！！

由于的表达式里有位移、速度和加速度三个参数，我以为光建立位移和速度的关系是不够充分的，但后来我发现，由于有着正比例关系，所以用建立位移和速度的关系就够了。

所以，如何求解这个二阶微分方程呢？

求大神指导!