【现代控制系统】能控性与能观性

能控性与能观性

2023年11月25日
#controlsys

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1. 能控性

1.1 能控性（可控性）的引入

能控性问题 系统内部的所有状态是否可受输入的影响而改变？
可控性与可达性的对比

• 可控性：由任意非零状态转到零状态（可以找到一个输入量 $u$ 使得）
• 可达性：由零状态转移到任意非零状态
  对LTI系统：可控性 $\iff$ 可达性
  对离散或时变系统：可控性 $\nLeftrightarrow$ 可达性

1.2 LTI系统的可控性

Gram矩阵判据
$$系统完全能控\iff W_c(0,t_1)={\int }_0^{t_1}{e}^{-At}B{B}^{\mathrm{T}}{e}^{-A^{\mathrm{T}}t}\mathrm{d}t非奇异$$

秩判据
$$系统完全能控\iff \text{rank}([B,AB,A^{2}B,\cdots ,A^{n-1}B])=n$$

[!example]-
A = [ 0 1 0 0 0 1 − 2 − 4 − 3 ]    ,    B = [ 1 0 0 1 − 1 1 ] A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & -4 & -3 \end{bmatrix} \,\,,\,\, B = \begin{bmatrix} 1&0\\0&1\\-1&1 \end{bmatrix} A= ​00−2​10−4​01−3​ ​,B= ​10−1​011​ ​
Q c = [ B     A B     A 2 B ] = [ 1 0 0 1 − 1 1 0 1 − 1 1 1 − 7 − 1 1 1 − 7 1 15 ] rank ( Q c ) = 3 \begin{align*} Q_c = &[B \,\,\, AB \,\,\, A^2B] \\ \\ =& \begin{bmatrix} 1&0&0&1&-1&1\\0&1&-1&1&1&-7\\-1&1&1&-7&1&15 \end{bmatrix} \\ \\ \text{rank}(Q_c)=&3 \end{align*} Qc​==rank(Qc​)=​[BABA2B] ​10−1​011​0−11​11−7​−111​1−715​ ​3​
所以系统状态完全能控。

PBH秩判据
$$系统完全能控\iff \text{rank}([{\lambda }_{i}I-A,B])=n$$

Jordan规范型时候的判据

1. 若系统矩阵 $A$ 为对角阵，且特征值两两相异
   $$系统完全能控\iff B矩阵无全零行$$
2. 若系统矩阵 $A$ 为Jordan规范型
   $$\begin{array}{rl}& 系统完全能控\iff \\ & \\ 1.& A矩阵每个Jordan块的最后一行对应的B矩阵的行不是全零行，且\\ & \\ 2.& A矩阵相同特征值的Jordan块的最后一行对应的B矩阵的行线性无关\end{array}$$

[!example]-
[ x ˙ 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ x ˙ 8 ] = [ − 1 1 − 1 − 1 − 1 2 1 2 2 5 ] [ x 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ x 8 ] + [ 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 4 0 0 0 1 2 0 0 3 3 8 0 0 ] [ u 1 u 2 u 3 ] \begin{bmatrix} \dot x_1\\ \vdots \\ \vdots \\ \vdots \\ \vdots \\ \dot x_8 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -1 &1\\& -1\\ &&-1\\&&& -1\\&&&& 2&1\\&&&&&2\\ &&&&&&2\\ &&&&&&&5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ \vdots \\ \vdots \\ \vdots \\ \vdots \\ x_8 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0&0&0\\1&0&0\\0&2&0\\0&0&4\\0&0&0\\1&2&0\\0&3&3\\8&0&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_1\\u_2\\u_3 \end{bmatrix} ​x˙1​⋮⋮⋮⋮x˙8​​ ​= ​−1​1−1​−1​−1​2​12​2​5​ ​ ​x1​⋮⋮⋮⋮x8​​ ​+ ​01000108​00200230​00040030​ ​ ​u1​u2​u3​​ ​
第 $2，3，4，6，7，8$ 行 $B$ 矩阵满足条件 $1$
第 $2，3，4$ 行 $B$ 矩阵行线性无关，满足条件 $2$
第 $6，7$ 行 $B$ 矩阵行线性无关，满足条件 $2$
所以该LTI系统完全能控。

[!example]-
元素 $b_i\ne 0,i=1,2,3,4$ ，且两两相异，判断系统可控性
[ x ˙ 1 x ˙ 2 x ˙ 3 x ˙ 4 ] = [ λ 1 λ 1 λ 1 λ 1 ] [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] + [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] u \begin{bmatrix} \dot x_1\\\dot x_2\\\dot x_3\\\dot x_4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \lambda_1\\ & \lambda_1 \\ && \lambda_1 \\ &&& \lambda_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} b_1\\b_2\\b_3\\b_4 \end{bmatrix}u ​x˙1​x˙2​x˙3​x˙4​​ ​= ​λ1​​λ1​​λ1​​λ1​​ ​ ​x1​x2​x3​x4​​ ​+ ​b1​b2​b3​b4​​ ​u
解：
由于 ${\lambda }_1$ 有四个Jordan块， $b_i\ne 0$ ，满足条件 $1$ ，但 $b_i$ 均为常数，即 $B$ 矩阵行线性相关，不满足条件 $2$ ，所以系统不完全可控。

1.3 LTV系统的可控性

通过秩判据，LTV系统的可控性秩判据矩阵如下：
$$\begin{array}{rl}\text{rank}(A)=& n\\ & \\ B_1(t)=& B(t)\\ & \\ B_i(t)=& -A(t)B_{i-1}(t)+{\dot{B}}_{i-1}(t),i=1,\cdots ,n\\ & \\ Q_c(t)=& [B_1(t)\cdots B_n(t)]\\ & \\ \text{rank}(Q_c(t))=& n⟺系统状态完全能控\end{array}$$

[!example]-
判断下列系统是否为完全能控
x ˙ = [ t 1 0 0 t 0 0 0 t 2 ] x + [ 0 1 1 ] u    ,    t ∈ [ 0 , 2 ] \dot x= \begin{bmatrix} t & 1 & 0 \\ 0 & t & 0 \\ 0 & 0 & t^2 \end{bmatrix}x+ \begin{bmatrix} 0\\1\\1 \end{bmatrix}u \,\,,\,\, t\in[0,2] x˙= ​t00​1t0​00t2​ ​x+ ​011​ ​u,t∈[0,2]
解：由题可得
A ( t ) = [ t 1 0 0 t 0 0 0 t 2 ]    ,    B ( t ) = [ 0 1 1 ] A(t) = \begin{bmatrix} t&1&0\\0&t&0\\0&0&t^2 \end{bmatrix} \,\,,\,\, B(t)= \begin{bmatrix} 0\\1\\1 \end{bmatrix} A(t)= ​t00​1t0​00t2​ ​,B(t)= ​011​ ​
B 1 ( t ) = B ( t ) = [ 0 1 1 ] B_1(t)=B(t)= \begin{bmatrix} 0\\1\\1 \end{bmatrix} B1​(t)=B(t)= ​011​ ​
B 2 ( t ) = − A ( t ) B 1 ( t ) + B ˙ 1 ( t ) = [ − 1 − t − t 2 ] B_2(t)=-A(t)B_1(t)+\dot B_1(t)= \begin{bmatrix} -1\\-t\\-t^2 \end{bmatrix} B2​(t)=−A(t)B1​(t)+B˙1​(t)= ​−1−t−t2​ ​
B 3 ( t ) = − A ( t ) B 2 ( t ) + B ˙ 2 ( t ) = [ 2 t t 2 − 1 t 4 − 2 t ] B_3(t)=-A(t)B_2(t)+\dot B_2(t)= \begin{bmatrix} 2t\\ t^2-1\\ t^4-2t \end{bmatrix} B3​(t)=−A(t)B2​(t)+B˙2​(t)= ​2tt2−1t4−2t​ ​
Q c ( t ) = [ B 1 ( t )     B 2 ( t )     B 3 ( t ) ] = [ 0 − 1 2 t 1 − t t 2 − 1 1 − t 2 t 4 − 2 t ] Q_c(t)=[B_1(t) \,\,\, B_2(t) \,\,\, B_3(t)]= \begin{bmatrix} 0& -1& 2t\\1&-t&t^2-1\\1&-t^2&t^4-2t \end{bmatrix} Qc​(t)=[B1​(t)B2​(t)B3​(t)]= ​011​−1−t−t2​2tt2−1t4−2t​ ​
$$\text{rank}(Q_c)=3,t\in [0,2]$$
系统状态完全能控。

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2. 能观性

2.1 能观性（可观性）引入

可观性问题 系统内部的所有状态是否可以被输出所反映？

[!example]-
$$\begin{array}{rl}{\dot{x}}_1=& 4x_1+2u\\ & \\ {\dot{x}}_2=& -2x_2\\ & \\ y=& x_1\end{array}$$
由于输入量 $u$ 不能影响状态 $x_2$ ，所以系统不完全可控。
由于只有状态 $x_1$ 被输出， $x_2$ 无输出，所以系统不可观。
如果不外加输入，则状态方程的解
$$\begin{array}{rl}{x}_1(t)=& e^{4t}{x}_1(0),状态x_1不稳定\end{array}$$
若令 $u=-3x_1$ ，则
$$\begin{array}{rl}{x}_1(t)=& e^{-2t}{x}_1(0),状态x_1稳定了\end{array}$$
如果输出 $y=x_2$ ， $x_1$ 没有被输出，则无法实现使状态 $x_1$ 趋于稳定的控制律 $u=-3x_1$ ，所以只有当 $x_1$ 可观，才能有 $u=-3x_1$ 。

由上面的例子，可以得到结论：

• 状态可控，则可以让不稳定的状态趋于稳定
• 状态可观，则可以实现让状态趋于稳定的控制律 $u$

即可控决定了状态能否稳定，可观决定了让状态稳定的控制量 $u$ 能否实现。

2.2 LTI系统的可观性

Gram矩阵判据
$$系统完全能观\iff W_o(0,t_1)={\int }_0^{t_1}{e}^{-A^{\mathrm{T}}t}{C}^{\mathrm{T}}C{e}^{-At}\mathrm{d}t非奇异$$

秩判据
系统完全能观 ⇔ rank ( [ C C A ⋮ C A n − 1 ] ) = n 系统完全能观 \Leftrightarrow \text{rank}( \begin{bmatrix} C\\CA\\ \vdots \\CA^{n-1} \end{bmatrix} )=n 系统完全能观⇔rank( ​CCA⋮CAn−1​ ​)=n

A = [ − 2 1 0 0 − 2 0 0 0 − 2 ]    ,    C = [ 1 0 4 2 0 8 ] A = \begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} \,\,,\,\, C= \begin{bmatrix} 1&0&4\\2&0&8 \end{bmatrix} A= ​−200​1−20​00−2​ ​,C=[12​00​48​]

[!example]-
Q o = [ C C A C A 2 ] = [ 1 0 4 2 0 8 − 2 1 − 8 − 4 2 − 16 4 − 4 16 8 − 8 32 ] rank ( Q o ) = 2 \begin{align*} Q_o = & \begin{bmatrix} C\\ CA \\ CA^2 \end{bmatrix}\\ \\ =& \begin{bmatrix} 1 &0&4\\ 2&0&8\\ -2&1&-8\\ -4&2&-16\\ 4&-4&16\\8&-8&32 \end{bmatrix} \\ \\ \text{rank}(Q_o)=&2 \end{align*} Qo​==rank(Qo​)=​ ​CCACA2​ ​ ​12−2−448​0012−4−8​48−8−161632​ ​2​
所以系统状态不是完全能观的。

PBH秩判据
$$系统完全能控\iff \text{rank}(\left[\begin{array}{c}{\lambda }_{i}I-A\\ C\end{array}\right])=n$$

Jordan规范型时候的判据

1. 若系统矩阵 $A$ 为对角阵，且特征值两两相异
   $$系统完全能控\iff C矩阵无全零列$$
2. 若系统矩阵 $A$ 为Jordan规范型
   $$\begin{array}{rl}& 系统完全能观\iff \\ & \\ 1.& A矩阵每个Jordan块的首列对应的C矩阵的列不是全零列，且\\ & \\ 2.& A矩阵相同特征值的Jordan块的首列对应的C矩阵的列线性无关\end{array}$$

[!example]-
[ x ˙ 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ x ˙ 8 ] = [ 3 1 3 3 3 2 1 2 2 5 ] [ x 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ x 8 ] y = [ 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 2 4 0 7 0 0 0 3 3 0 1 0 ] x \begin{align*} \begin{bmatrix} \dot x_1\\ \vdots \\ \vdots \\ \vdots \\ \vdots \\ \dot x_8 \end{bmatrix}=& \begin{bmatrix} 3 &1\\& 3\\ &&3\\&&& 3\\&&&& 2&1\\&&&&&2\\ &&&&&&2\\ &&&&&&&5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ \vdots \\ \vdots \\ \vdots \\ \vdots \\ x_8 \end{bmatrix} \\ \\ y=& \begin{bmatrix} 2&0&0&0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&2&4&0&7\\0&0&0&3&3&0&1&0 \end{bmatrix}x \end{align*} ​x˙1​⋮⋮⋮⋮x˙8​​ ​=y=​ ​3​13​3​3​2​12​2​5​ ​ ​x1​⋮⋮⋮⋮x8​​ ​ ​200​000​010​003​123​040​001​070​ ​x​
第 $1，3，4，5，7，8$ 列 $C$ 矩阵满足条件 $1$
第 $1，3，4$ 列 $C$ 矩阵满足条件 $2$
第 $5，7$ 列 $C$ 矩阵满足条件 $2$
所以该LTI系统完全能观。

2.3 LTV系统的可观性

通过秩判据，LTV系统的可观性秩判据矩阵如下：
rank ( A ) = n C 1 ( t ) = C ( t ) C i ( t ) = C i − 1 ( t ) A ( t ) + C ˙ i − 1 ( t )    ,    i = 1 , ⋯   , n Q c ( t ) = [ C 1 ( t ) ⋮ C n ( t ) ] rank ( Q c ( t ) ) = n    ⟺    系统状态完全能观 \begin{align*} \text{rank}(A)=&n \\ \\ C_1(t) =& C(t) \\ \\ C_i(t)=& C_{i-1}(t)A(t)+ \dot C_{i-1}(t) \,\,,\,\, i=1,\cdots ,n\\ \\ Q_c(t)=& \begin{bmatrix} C_1(t) \\ \vdots \\ C_n(t) \end{bmatrix} \\ \\ \text{rank}(Q_c(t))=&n \iff 系统状态完全能观 \end{align*} rank(A)=C1​(t)=Ci​(t)=Qc​(t)=rank(Qc​(t))=​nC(t)Ci−1​(t)A(t)+C˙i−1​(t),i=1,⋯,n ​C1​(t)⋮Cn​(t)​ ​n⟺系统状态完全能观​

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3. 状态向量的非奇异线性变换

LTI系统$$\begin{array}{rl}& \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\ & y(t)=Cx(t)+Du(t)\end{array}$$
线性变换$$\begin{array}{ll}\dot{\bar{x}}=\bar{A}\bar{x}+\bar{B}u& x=T\bar{x}\\ y=\bar{C}\bar{x}+\bar{D}u& \end{array}$$
其中
$$\begin{array}{rl}\bar{A}=& T^{-1}AT\\ & \\ \bar{B}=& T^{-1}B\\ & \\ \bar{C}=& CT\\ & \\ \bar{D}=& D\bar{x}(0)=T^{-1}{x}_0\end{array}$$
系统的状态描述改变了，系统矩阵 $A$ 也改变了。使用 $x=T\bar{x}$ 的写法是出于习惯，这样变换矩阵相当于过渡矩阵，过渡矩阵的每一列列向量相当于新的坐标轴的基向量。[[坐标变换与相似变换#1. 基变换与坐标变换]]
非奇异线性变换的不变性

1. 可控性不变
2. 可观性不变
3. 特征值不变
4. 传递函数不变
5. $D$ 矩阵不变

两个推导：

[!info]- proof
$$\begin{array}{rl}|\lambda I-A|=& 0\\ & \\ |\lambda P^{-1}IP-P^{-1}AP|=& 0\\ & \\ |P^{-1}(\lambda I)P-P^{-1}AP|=& 0\\ & \\ |P^{-1}(\lambda I-A)P|=& 0\\ & \\ |P^{-1}||\lambda I-A||P|=& 0\Rightarrow |\lambda I-A|=0\end{array}$$

[!info]- proof
$$\begin{array}{rl}G(s)=& C(sI-A{)}^{-1}B-D\\ & \\ G^{\prime }(s)=& CP(sI-P^{-1}AP{)}^{-1}{P}^{-1}B-D\\ & \\ =& CP(P^{-1}(sI-A)P{)}^{-1})P^{-1}B-D\\ & \\ =& CP{P}^{-1}(sI-A{)}^{-1}P{P}^{-1}B-D\\ & \\ =& C(sI-A{)}^{-1}B-D\end{array}$$

3.1 LTI能控性分解

当系统不完全能控时，选择变换矩阵 $P$ ，使得系统能控的部分与不能控的部分在状态方程的写法上分开。
$$x=P\bar{x}$$
$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{\dot{\bar{x}}}_c\\ {\dot{\bar{x}}}_{\bar{c}}\end{array}\right]=& \left[\begin{array}{cc}{\bar{A}}_c& {\bar{A}}_{12}\\ 0& {\bar{A}}_{\bar{c}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\bar{B}}_c\\ 0\end{array}\right]u\\ & \\ y=& \left[\begin{array}{cc}{\bar{C}}_c& {\bar{C}}_{\bar{c}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{\bar{x}}}_c\\ {\dot{\bar{x}}}_{\bar{c}}\end{array}\right]\end{array}$$

P矩阵的选择如下：

1. 选择能控性秩判据矩阵中线性无关的列做为 $P$ 矩阵的前几列
2. 构造出与前几列线性无关的向量做为 $P$ 矩阵的后几列

直观上是将可控的状态从不可控的状态的动态中分离，使得不可控状态的动态不含可控状态，而可控状态的动态可能会受不可控状态的影响。
能控性分解的步骤

1. 求能控性秩判据矩阵，得到系统不完全能控
2. 构造 $P$ 矩阵，并求出 $P^{-1}$ 矩阵
3. 求出线性变换后的系统，写出系统的能控部分的状态方程

[!example]-
x ˙ = [ 1 2 − 1 0 1 0 1 4 − 3 ] x + [ 0 0 1 ] u y = [ 1 − 1 1 ] x \begin{align*} \dot{x}=& \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\0 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & -3 \end{bmatrix}x+ \begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix}u \\ \\ y=& \begin{bmatrix} 1 &-1 &1 \end{bmatrix}x \end{align*} x˙=y=​ ​101​214​−10−3​ ​x+ ​001​ ​u[1​−1​1​]x​
rank ( Q c ) = rank ( [ b     A b     A 2 b ] ) = rank ( [ 0 − 1 − 4 0 0 0 1 3 8 ] ) = 2 \text{rank}(Q_c)= \text{rank}([b \,\,\, Ab \,\,\, A^2b])= \text{rank}( \begin{bmatrix} 0& -1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \\1 & 3 & 8 \end{bmatrix} )=2 rank(Qc​)=rank([bAbA2b])=rank( ​001​−103​−408​ ​)=2
∴ P = [ 0 − 1 0 0 0 1 1 3 0 ]    ,    P − 1 = [ 3 0 1 − 1 0 0 0 1 0 ] \therefore P= \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{bmatrix} \,\,,\,\, P^{-1}= \begin{bmatrix} 3 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} ∴P= ​001​−103​010​ ​,P−1= ​3−10​001​100​ ​
A ˉ = P − 1 A P = [ 0 − 4 2 1 4 − 2 0 0 1 ] \bar A= P^{-1}AP= \begin{bmatrix} 0 & -4 & 2 \\ 1 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Aˉ=P−1AP= ​010​−440​2−21​ ​
B ˉ = P − 1 B = [ 1 0 0 ] \bar B= P^{-1}B = \begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix} Bˉ=P−1B= ​100​ ​
$$\bar{C}=C{P}^{-1}=[12-1]$$
x ˉ = P − 1 x = [ 3 x 1 + x 3 − x 1 x 2 ] \bar x=P^{-1}x= \begin{bmatrix} 3x_1+x_3 \\ -x_1\\ x_2 \end{bmatrix} xˉ=P−1x= ​3x1​+x3​−x1​x2​​ ​

[!example]-
Reduce the state equation 化简状态方程
$$\dot{x}=\left[\begin{array}{cc}-1& 4\\ 4& -1\end{array}\right]x+\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]u,y=\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]x$$
to a controllable one. Is the reduced equation observable? 到一个能控的形式，这个化简后的方程能观吗？
解：由题可得
$$A=\left[\begin{array}{cc}-1& 4\\ 4& -1\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right],C=[11]$$
$$Q_c=[BAB]=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 3\end{array}\right]$$
选择
$$P=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right],P^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right]$$
$$\bar{A}=P^{-1}AP=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-1& 4\\ 4& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 0& -5\end{array}\right]$$
$$\bar{B}=P^{-1}B=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\bar{C}=CP=[21]$$
因此对 $\bar{x}=P^{-1}x$ 有
$$\dot{\bar{x}}=\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 0& -5\end{array}\right]\bar{x}+\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]u$$
$$y=[21]\bar{x}$$
方程可以被简化为
$${\dot{\bar{x}}}_1=3{\bar{x}}_1+u+4{\bar{x}}_2$$
$$y=2{\bar{x}}_1+{\bar{x}}_2$$
此时系统是能观的。

3.2 LTI能观性分解

当系统不完全能观时，选择变换矩阵 $P$ ，使得系统能观的部分与不能观的部分在状态方程的写法上分开。
$$\bar{x}=Px$$
$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{\dot{\bar{x}}}_o\\ {\dot{\bar{x}}}_{\bar{o}}\end{array}\right]=& \left[\begin{array}{cc}{\bar{A}}_o& 0\\ {\bar{A}}_{21}& {\bar{A}}_{\bar{o}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\bar{B}}_o\\ {\bar{B}}_{\bar{o}}\end{array}\right]u\\ & \\ y=& \left[\begin{array}{cc}{\bar{C}}_o& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{\bar{x}}}_o\\ {\dot{\bar{x}}}_{\bar{o}}\end{array}\right]\end{array}$$

P矩阵的选择如下：

1. 选择能观性秩判据矩阵中线性无关的行做为 $P$ 矩阵的前几行
2. 构造出与前几行线性无关的行向量做为 $P$ 矩阵的后几行

能控性分解的步骤

1. 求能观性秩判据矩阵，得到系统不完全能观
2. 构造 $P$ 矩阵，并求出 $P^{-1}$ 矩阵
3. 求出线性变换后的系统，写出系统的能控部分的状态方程

[!example]-
x ˙ = [ 1 2 − 1 0 1 0 1 4 − 3 ] x + [ 0 0 1 ] u y = [ 1 − 1 1 ] x \begin{align*} \dot{x}=& \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\0 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & -3 \end{bmatrix}x+ \begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix}u \\ \\ y=& \begin{bmatrix} 1 &-1 &1 \end{bmatrix}x \end{align*} x˙=y=​ ​101​214​−10−3​ ​x+ ​001​ ​u[1​−1​1​]x​
rank ( Q o ) = rank ( [ c c A c A 2 ] ) = rank ( [ 1 − 1 1 2 − 3 2 4 − 7 4 ] ) = 2 \text{rank}(Q_o)= \text{rank}(\begin{bmatrix} c\\cA\\cA^2 \end{bmatrix})= \text{rank}( \begin{bmatrix} 1& -1 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \\4 & -7 & 4 \end{bmatrix} )=2 rank(Qo​)=rank( ​ccAcA2​ ​)=rank( ​124​−1−3−7​124​ ​)=2
∴ P = [ 1 − 1 1 2 − 3 2 0 0 1 ]    ,    P − 1 = [ 3 − 1 1 2 − 1 0 0 0 1 ] \therefore P= \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1\\ 2 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \,\,,\,\, P^{-1}= \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ∴P= ​120​−1−30​121​ ​,P−1= ​320​−1−10​101​ ​
A ˉ = P − 1 A P = [ 0 1 0 − 2 3 0 − 5 3 2 ] \bar A= P^{-1}AP= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -2 & 3 & 0 \\ -5 & 3 & 2 \end{bmatrix} Aˉ=P−1AP= ​0−2−5​133​002​ ​
B ˉ = P − 1 B = [ 1 2 1 ] \bar B= P^{-1}B = \begin{bmatrix} 1\\2\\1 \end{bmatrix} Bˉ=P−1B= ​121​ ​
$$\bar{C}=C{P}^{-1}=[100]$$
x ˉ = P − 1 x = [ 3 x 1 − x 2 + x 3 2 x 1 − x 2 x 3 ] \bar x=P^{-1}x= \begin{bmatrix} 3x_1-x_2+x_3\\ 2x_1-x_2\\ x_3 \end{bmatrix} xˉ=P−1x= ​3x1​−x2​+x3​2x1​−x2​x3​​ ​

3.3 Kalman分解定理

可以通过等价变换将任一状态方程变换为以下标准型
[ x ˉ ˙ c o ( t ) x ˉ ˙ c o ˉ ( t ) x ˉ ˙ c ˉ o ( t ) x ˉ ˙ c ˉ o ˉ ( t ) ] = [ A ˉ c o 0 A ˉ 13 0 A ˉ 21 A ˉ c o ˉ A ˉ 23 A ˉ 24 0 0 A ˉ c ˉ o 0 0 0 A ˉ 43 A ˉ c ˉ o ˉ ] [ x ˉ c o ( t ) x ˉ c o ˉ ( t ) x ˉ c ˉ o ( t ) x ˉ c ˉ o ˉ ( t ) ] + [ B ˉ c o B ˉ c o ˉ 0 0 ] u ( t ) y ( t ) = [ C ˉ c o 0 C ˉ c ˉ o 0 ] x ˉ ( t ) + D u ( y ) \begin{align*} \begin{bmatrix} \dot{\bar x}_{co}(t) \\ \dot{\bar x}_{c\bar o}(t) \\ \dot{\bar x}_{\bar co}(t) \\ \dot{\bar x}_{\bar c\bar{o}}(t) \end{bmatrix}=& \begin{bmatrix} \bar A_{co} & 0 & \bar A_{13} & 0 \\ \bar A_{21} & \bar A_{c\bar o} & \bar A_{23} & \bar A_{24} \\ 0 & 0 & \bar A_{\bar c o} & 0\\ 0 & 0 & \bar A_{43} & \bar A_{\bar c\bar o} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {\bar x}_{co}(t) \\ {\bar x}_{c\bar o}(t) \\ {\bar x}_{\bar co}(t) \\ {\bar x}_{\bar c\bar{o}}(t) \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} \bar B_{co} \\ \bar B_{c\bar o} \\0\\0 \end{bmatrix}u(t) \\ \\ y(t)=& \begin{bmatrix} \bar C_{co} & 0 & \bar C_{\bar co} &0 \end{bmatrix} \bar x(t) + Du(y) \end{align*} ​xˉ˙co​(t)xˉ˙coˉ​(t)xˉ˙cˉo​(t)xˉ˙cˉoˉ​(t)​ ​=y(t)=​ ​Aˉco​Aˉ21​00​0Aˉcoˉ​00​Aˉ13​Aˉ23​Aˉcˉo​Aˉ43​​0Aˉ24​0Aˉcˉoˉ​​ ​ ​xˉco​(t)xˉcoˉ​(t)xˉcˉo​(t)xˉcˉoˉ​(t)​ ​+ ​Bˉco​Bˉcoˉ​00​ ​u(t)[Cˉco​​0​Cˉcˉo​​0​]xˉ(t)+Du(y)​

[!example]-
Reduce the state equation
x ˙ = [ λ 1 1 0 0 0 0 λ 1 1 0 0 0 0 λ 1 0 0 0 0 0 λ 2 1 0 0 0 0 λ 2 ] x + [ 0 1 0 0 1 ] u y = [ 0 1 1 0 1 ] x \begin{align*} \dot x=& \begin{bmatrix} \lambda_1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_2 \end{bmatrix}x+ \begin{bmatrix} 0\\1\\0\\0\\1 \end{bmatrix}u\\ \\ y =& \begin{bmatrix} 0&1&1&0&1 \end{bmatrix}x \end{align*} x˙=y=​ ​λ1​0000​1λ1​000​01λ1​00​000λ2​0​0001λ2​​ ​x+ ​01001​ ​u[0​1​1​0​1​]x​
to a controllable and observable equation.
解：方程可以被重写成成
[ x ˙ 2 x ˙ 5 x ˙ 1 x ˙ 3 x ˙ 4 ] = [ λ 1 0 0 1 0 0 λ 2 0 0 0 1 0 λ 1 0 0 0 0 0 λ 1 0 0 0 0 0 λ 2 ] [ x 2 x 5 x 1 x 3 x 4 ] + [ 1 1 0 0 0 ] u \begin{bmatrix} \dot x_2\\ \dot x_5\\ \dot x_1 \\ \dot x_3 \\\dot x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda_1&0&0&1&0\\ 0& \lambda_2 &0&0&0\\ 1&0& \lambda_1 & 0& 0 \\ 0&0&0& \lambda_1&0\\ 0&0&0&0& \lambda_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_2\\ x_5\\ x_1\\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 1\\1\\0\\0\\0 \end{bmatrix}u ​x˙2​x˙5​x˙1​x˙3​x˙4​​ ​= ​λ1​0100​0λ2​000​00λ1​00​100λ1​0​0000λ2​​ ​ ​x2​x5​x1​x3​x4​​ ​+ ​11000​ ​u
$$y=[11010]\overline{\stackrel{ˉ}{x}}$$
方程还可以被化简成
[ x ˙ 2 x ˙ 5 ] = [ λ 1 0 0 λ 2 ] [ x 2 x 5 ] + [ 1 1 ] u + [ 0 1 0 0 0 0 ] [ x 1 x 3 x 4 ] \begin{bmatrix} \dot x_2\\ \dot x_5 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\0& \lambda_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_2\\ x_5 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}u+ \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_3\\x_4 \end{bmatrix} [x˙2​x˙5​​]=[λ1​0​0λ2​​][x2​x5​​]+[11​]u+[00​10​00​] ​x1​x3​x4​​ ​
y = [ 1     1 ] [ x 2 x 5 ] + [ 0     1     0 ] [ x 1 x 3 x 4 ] y=[1 \,\,\, 1]\begin{bmatrix} x_2\\x_5 \end{bmatrix}+[0 \,\,\, 1 \,\,\, 0] \begin{bmatrix} x_1\\x_3\\x_4 \end{bmatrix} y=[11][x2​x5​​]+[010] ​x1​x3​x4​​ ​
这个方程是即能控又能观的。

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5. 其他

5.1 对偶定理

矩阵对系统 $(A,B)$ 能控，当且仅当矩阵对系统 $(A^{\mathrm{T}},B^{\mathrm{T}})$ 能观时。此时 $B^{\mathrm{T}}$ 相当于 $C$ 矩阵。

5.2 能控性能观性和传递函数的关系

考虑一个对角型的SISO系统
[ x ˙ 1 x ˙ 2 x ˙ 3 ] = [ λ 1 λ 2 λ 3 ] [ x 1 x 2 x 3 ] + [ b 1 b 2 b 3 ] u y = [ c 1 c 2 c 3 ] x \begin{align*} \begin{bmatrix} \dot x_1\\ \dot x_2\\ \dot x_3 \end{bmatrix}= & \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \\ && \lambda_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2\\ b_3 \end{bmatrix}u \\ \\ y =& \begin{bmatrix} c_1& c_2 & c_3 \end{bmatrix} x \end{align*} ​x˙1​x˙2​x˙3​​ ​=y=​ ​λ1​​λ2​​λ3​​ ​ ​x1​x2​x3​​ ​+ ​b1​b2​b3​​ ​u[c1​​c2​​c3​​]x​
其中 ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2\ne {\lambda }_3$ 。
显然，如果要系统可控，则要 $b_1,b_2,b_3\ne 0$ 。
要系统可观，则有 $c_1,c_2,c_3\ne 0$ 。传递函数如下；
Y ( s ) U ( s ) = C ( s I − A ) − 1 B = [ c 1 c 2 c 3 ] [ s − λ 1 s − λ 2 s − λ 3 ] − 1 [ b 1 b 2 b 3 ] = [ c 1 s − λ 1     c 2 s − λ 2     c 3 s − λ 3 ] [ b 1 b 2 b 3 ] = c 1 b 1 s − λ 1 + c 2 b 2 s − λ 2 + c 3 b 3 s − λ 3 \begin{align*} \frac{Y(s)}{U(s)}=& C(sI-A)^{-1}B \\ \\ =& \begin{bmatrix} c_1&c_2&c_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s- \lambda_1\\ & s- \lambda_2 \\ && s- \lambda_3 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{bmatrix}\\ \\ =& [ \frac{c_1}{s- \lambda_1} \,\,\, \frac{c_2}{s- \lambda_2} \,\,\, \frac{c_3}{s- \lambda_3} ] \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\b_3 \end{bmatrix} \\ \\ =& \frac{c_1b_1}{s- \lambda_1} + \frac{c_2b_2}{s- \lambda_2} + \frac{c_3b_3}{s- \lambda_3} \end{align*} U(s)Y(s)​====​C(sI−A)−1B[c1​​c2​​c3​​] ​s−λ1​​s−λ2​​s−λ3​​ ​−1 ​b1​b2​b3​​ ​[s−λ1​c1​​s−λ2​c2​​s−λ3​c3​​] ​b1​b2​b3​​ ​s−λ1​c1​b1​​+s−λ2​c2​b2​​+s−λ3​c3​b3​​​
如果 $b_1=0$ ，则状态 $x_1$ 不可控，这会导致 $c_1{b}_1$ 等于 $0$ ，相当于传递函数存在零极点相消，导致特征方程阶数降低。
SISO几个结论；

• 当SISO传递函数有零极点相消时，系统不可控或不可观
• 当SISO传递函数有零极点相消时，系统传递函数极点是系统矩阵 $A$ 的特征值的真子集
• SISO的LTI系统可控可观的充要条件：系统传递函数没有零极点相消
• SISO的LTI系统可控可观时，没有零极点相消，传递函数极点与 $A$ 的特征值完全一致

[!example]-
$$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{s+1}{(s+1)(s+3)}=\frac{0}{s+1}+\frac{1}{s+3}$$
系统的不可控可观实现：
$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\end{array}\right]=& \left[\begin{array}{cc}-1& \\ & -3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]u\\ & \\ y=& [101]x\end{array}$$
系统的可控不可观实现：
$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\end{array}\right]=& \left[\begin{array}{cc}-1& \\ & -3\end{array}\right][\begin{array}{c}{x}_1\\ x\end{array}\\ & \\ y=& \end{array}$$