408数据结构知识点——第三章 栈、队列和数组（二）

注：内容参考王道2024考研复习指导以及《数据结构》

栈和队列的应用

括号匹配

问题：

假设表达式中允许包含两种括号：圆括号和方括号，其嵌套的顺序随意，即：

1. ( [ ] ( ) )或[ ( [ ] [ ] ) ]为正确格式；
2. [ ( ] )为错误格式；
3. ( [ ( ) )或( ( ) ] )为错误格式。

分析：

可用栈实现该特性。最后出现的左括号最先被匹配（LIFO），每出现一个右括号，就 “消耗”一个左括号。

依次扫描所有字符，遇到左括号入栈，遇到右括号则弹出栈顶元素检查是否匹配。

匹配失败情况：①左括号单身②右括号单身③左右括号不匹配。

算法流程图：

代码实现

bool bracketCheck(char str[],int length){
    SqStack S;
    InitStack(S);
    for(int i=0;i

表达式求值

算数表达式由三部分组成：

• 操作数(operand)：常数、标识符
• 表达式运算符(operator)：算术、逻辑、关系
• 界限符（delimiter）：括号、结束符

表达式分为三种：

• 中缀表达式：运算符在两个操作数中间
• 后缀表达式（逆波兰式）：运算符在两个操作数后面
• 前缀表达式（波兰式）：运算符在两个操作数前面

代码实现

中缀表达式转后缀：

初始化一个栈，用于保存暂时还不能确定运算顺序的运算符。

从左到右处理各个元素，直到末尾。可能遇到三种情况：

1. 遇到操作数。直接加入后缀表达式。
2. 遇到界限符。遇到“(”直接入栈；遇到“)”则依次弹出栈内运算符并加入后缀表达式，直到弹出“(”为止。注意：“(”不加入后缀表达式。
3. 遇到运算符。依次弹出栈中优先级高于或等于当前运算符的所有运算符，并加入后缀表达式，若碰到“(” 或栈空则停止。之后再把当前运算符入栈。

按上述方法处理完所有字符后，将栈中剩余运算符依次弹出，并加入后缀表达式。

用栈实现后缀表达式的计算：

1. 从左往右扫描下一个元素，直到处理完所有元素；
2. 若扫描到操作数则压入栈，并回到1；否则执行2；
3. 若扫描到运算符，则弹出两个栈顶元素，执行相应运算，运算结果压回栈顶，回到1；
4. 注：先出栈的是右操作数。

若计算前缀表达式，则应该从右往左扫描，其余与计算后缀表达式相同，注意先出栈的是左操作数。

算符间的优先关系：

OperandType EvaluateExpression(){
    SqStack OPTR,OPND;
    InitStack (OPTR);//运算符栈
    Push(OPTR，'#') ;
    InitStack (OPND);//操作数栈
    ch=getchar();
    while (ch!= '#' || GetTop(OPTR)! = '#') {
        if (! In(ch)){
            Push(OPND,ch); ch=getchar();
        } // ch不是运算符则进栈
    else
        switch (Precede(GetTop(OPTR),ch)) {//比较优先权
            case '<' : //当前字符ch压入OPTR栈，读入下一字符ch
                Push(OPTR, ch);
                ch = getchar();
                break;
            case '>' ://弹出OPTR栈顶的运算符运算，并将运算结果入栈
                Pop(OPTR, theta);
                Pop(OPND, b);
                Pop(OPND, a);
                Push(OPND,Operate(a, theta, b));
                break;
            case '=' :    //脱括号并接收下一字符
                Pop(OPTR,x);
                ch = getchar();
                break;
        } // switch
  } // while
    return GetTop(OPND);
} // EvaluateExpression

栈在递归中的应用

函数调用的特点：最后被调用的函数最先执行结束（LIFO）。

函数调用时，需要用一个栈存储：

1. 调用返回地址
2. 实参
3. 局部变量

递归调用时，函数调用栈可称为“递归工作栈”，每进入一层递归，就将递归调用所需信息压入栈顶；每退出一层递归，就从栈顶弹出相应信息。

缺点：效率低，太多层递归可能会导致栈溢出；可能包含很多重复计算。

队列的应用

舞伴问题

问题：假设在舞会上，男士和女士各自排成一队。舞会开始时，依次从男队和女队的对头各出一人配成舞伴。如果两队初始人数不相同，则较长的那一队中未配对者等待下一轮舞曲。现要求写以算法模拟上述舞伴配对问题。

分析：显然，先入队的男士或女士先出队配成舞伴。因此该问题具有典型的先进先出特征，可以利用队列作为算法的数据结构。首先构造两个队列依次从队头元素出队配成舞伴某队为空，则另外一对等待着则是一下舞曲第一个可获得舞伴的人。

树的层次遍历

图的广度优先遍历

操作系统处理机调度策略

数组和特殊矩阵

数组的存储结构

一维数组

各数组元素大小相同，且物理上连续存放。

数组元素a[i] 的存放地址 $=LOC+i\ast sizeof(ElemType)(0\le i<10)$

注：除非题目特别说明，否则数组下标默认从0开始 注意审题！

二维数组

行优先存储：M行N列的二维数组中，则

b{i,j}的存储地址$=LOC+(i\ast N+j)\ast sizeof(ElemType)$

列优先存储：M行N列的二维数组中，则

b{i,j}的存储地址$=LOC+(j\ast M+i)\ast sizeof(ElemType)$

普通矩阵的存储

对于普通矩阵可用二维数组存储，但是某些特殊矩阵可以压缩存储空间。

对称矩阵的压缩存储

若 n 阶方阵中任意一个元素 $a_{i,j}$都有$a_{i,j}=a_{j,i}$，则该矩阵为对称矩阵。

压缩存储策略：只存储主对角线+下三角区（或主对角线+上三角区）。按行优先原则将各元素存入一维数组中。

从矩阵下标推出一维数组下标，即$a_{i,j}(i\ge j)\to B[k]$，则有$k=\frac{i(i-1)}{2}+j-1$。
出题方法：

• 存储上三角？下三角？
• 行优先？列优先？
• 矩阵元素的下标从0？1？开始
• 数组下标从0？1？开始

三角矩阵的压缩存储

下三角矩阵：除了主对角线和下三角区，其余的元素相同

上三角矩阵：除了主对角线和上三角区，其余的元素相同

压缩存储策略：按行优先原则将橙色区元素存入一维数组中。并在最后一个位置存储常量c。

从矩阵下标推出一维数组下标，即$a_{i,j}(i\ge j)\to B[k]$，则有

• 下三角矩阵KaTeX parse error: Undefined control sequence: \mbox at position 56: …-1)}{2}+j-1 & \̲m̲b̲o̲x̲{for} & i \leq…

• 上三角矩阵KaTeX parse error: Undefined control sequence: \mbox at position 65: …)}{2}+(j-i) & \̲m̲b̲o̲x̲{for} & i \leq…

三对角矩阵的压缩存储

压缩存储策略：按行优先（或列优先）原则，只存储带状部分

从矩阵下标推出一维数组下标，即$a_{i,j}(i\ge j)\to B[k]$，则有$k=2i+j-3$

若已知数组下标k如何得到i，j？

分析：前i-1行共 3(i-1)-1 个元素，前i行共 3i-1 个元素，显然， 3(i-1)-1 < k+1 ≤ 3i-1

稀疏矩阵的压缩存储

压缩存储策略：

• 顺序存储——三元组 <行，列，值>
• 十字链表法