【算法证明 七】深入理解深度优先搜索

深度优先搜索包含一个递归，对其进行分析要复杂一些。与上一篇文章一样，还是给节点定义几个状态，然后详细分析深度优先搜索算法有哪些性质。

算法描述

定义状态

• $v.color：初始状态为白色，被发现时改为灰色，其所有的邻接节点遍历完成后，变为黑色。$
• $v.\pi :v的前驱节点，也就是说是从哪个节点发现v的，初始化为nil$
• $v.d：时间戳，表示节点第一次被发现的时间$
• $v.f：时间戳，表示完成对邻接节点扫描的时间$

DFS(G)
	for v in G.V
		v.color=white
		v.Π=nil
	time=0
	for v in G.V
		if v.color == white
			DFS-VISIT(G, v)

DFS-VISIT(G, v)
	time += 1;
	v.d = time
	v.color = grary
	for u in G.Adj[v]:
		if u.color = white:
			u.Π=v
			DFS-VISIT(G, u)
	v.color = black
	time += 1;
	v.f = time;

该算法的时间复杂度分析与广搜的分析类似，使用聚合分析，发现每个节点访问一次，每条边访问一次，总复杂度为 $O(V+E)$

深度优先搜索的性质

深度优先搜索提供了关于图结构价值很高的信息。
性质1：生成的前驱子图 $G.\pi$ 是由多颗树构成的森林。

1. $u=v.\pi$，当且仅当DFS-VISIT(G, v) 在对 u 节点邻接表搜索时被调用。
2. v 是节点 u的后代，当且仅当节点 v 在节点u 为灰色时被发现

性质2：括号化结构：对于某一个节点，u, 如果以’(u’表示节点u的发现，’u)'表示节点u的完成。则算法的运行过程会形成一个恰当嵌套的括号化结构。

定理1. 括号化定理：在对图G进行深度优先搜索时，任意两个节点v,u，下面三种情况只有一种成立

• 区间$[u.d,u.f]$和区间$[v.d,v.f]$完全分离，$v$，$u$之间没有后代关系。
• 区间$[u.d,u.f]$ 在 区间$[v.d,v.f]$ 之内。在 深度优先搜索树 中，$u$ 是$v$ 的后代
• 区间$[v.d,v.f]$ 在 区间$[u.d,u.f]$ 之内。在 深度优先搜索树 中，$v$ 是$u$ 的后代

证明：当$u.d<v.d$ 时，根据$u.f$ 与 $v.d$的关系，可以分为两种情况
$u.f<v.d$ 时，容易扩充得到不等式 $u.d<u.f<v.d<v.f$，此时两区间分离，且没有一个节点是在另一个节点是灰色时被发现的，一次没有任何一个节点是另一个节点的后代
$u.f>v.d$，说明节点$v$在节点$u$是灰色时被发现。意味着v 是u 的后代。此外，当算法返回来继续处理$u$时，$v$节点已经处理完，因此区间$[v.d,v.f]$ 在 区间$[u.d,u.f]$ 之内。 证明完毕
推论：在深度优先树中， $v$ 是 $u$ 的后代，当且仅当 $u.d<v.d<v.f<u.f$成立

定理2：白色路径定理。$v$ 是 $u$ 的后代，当且仅当 算法发现 $u$ 时，存在一条从 $u$ 到 $v$ 的全部由白色节点组成的路径。
证明：$v$ 是 $u$的后代时，$v$ 在 $u$ 之后被发现。发现 $u$ 时，$u$ 的后代此时均未被发现为白色，当然包括 $v$。所以可以顺着后代路径，找到一条达到 $v$ 的白色路径。
当发现 $u$ 时，存在一条从 $u$ 到 $v$ 的白色路径。意味着深度优先算法至少一定会 完成 $v$ 的访问后，再回到 $u$。满足不等式，$u.d<v.d<v.f<u.f$。符合定理1的后两条之一。因此充分性和必要性均得证。

性质3：边的分类

根据深度优先搜索森林 $G.\pi$，可以定义 4 种边类型。

• 树边：$G.\pi$ 中的边
• 后向边：当v是u的祖先时，$(u,v)$ 称为后向边
• 前向边：当v是u的祖先时，$(v,u)$ 称为前向边
• 横向边：其他的所有边。

深度优先搜索算法可以将图中的所有边进行分类：当探索边$(v,u)$时

• $u$ 是 白色，$(v,u)$是树边
• $u$ 是 灰色，$(v,u)$是后向边
• $u$ 是 黑色，$(v,u)$是前向边或横向边
  • 当 $u.d<v.d$ 时，$(v,u)$是前向边
  • 当 $u.d>v.d$ 时，$(v,u)$是横向边

无向图的边类型按照符合的第一顺位分类。

定理3：无向图的边，要么是树边，要么是后向边。
证明：设 $(u,v)$ 时无向图的一条边。假设 $u.d<v.d$，$u$ 先被访问。$v$ 在$u$ 的邻接节点链表里。但算法第一次访问边$(u,v)$ 时，仍然有两种可能：如果从 $v$ 访问 $u$，此时 $u$ 已经被发现，$(u,v)$ 是一条后向边。如果从 $u$ 访问 $v$，$v$ 一定是白色。因为如果是灰色或者黑色，那么$(u,v)$ 一定已经从 $v$ 访问过了。因此$(u,v)$ 此时是树边。

强连通分量

这应该是图论中第一个简单(只用到了深搜)有用，但是难想，不直观的算法了。
首先定义强连通分量：图G的强连通分量是一个最大的节点集合$C\subseteq G.V$，该集合中的任意两个节点之间都可以相互到达。下图中圈起来的节点，就是强连通分量

为了实现强连通分量算法，先讨论一下分量图：$G^{SCC}=(V^{SCC},E^{SCC})$。定义如下：假如 G 由强连通分量$C_1,C_2，...,C_k$，易知强连通分量之间并不相交。任意从分量中挑出代表节点 $v_1,v_2,...,v_k$ 作为 $V^{SCC}$。如果对于两个节点$x\in C_x,y\in C_y$，存在边 $(x,y)$，则边 $(v_x,v_y)$ 在 $E^{SCC}$中。上面的分量图可以通过缩点变成分量图如下：

定理4 ：分量图是有向无环图：设$C$ 和$C^{\prime }$是两个不同的强连通分量，设 $u,v\in C$, $u^{\prime },v^{\prime }\in C^{\prime }$。如果存在一条边$(u,u^{\prime })$，则必不存在边$(v^{\prime },v)$。
证明：如果存在边$(v’,v)，那么 $C,C^{\prime }$ 两个强连通分量里的节点便满足了强连通分量的定义，$C,C^{\prime }$ 应该合并成 1 个，而不是两个，矛盾。

为了不产生歧义，对节点的描述 $v.f$ 表示的都是 对 $G$ 深度优先遍历的结果，而不是 $G^T$

定理5：(深度优先搜索的节点完成时间) ：设$C$ 和$C^{\prime }$是图$G$的两个不同的强连通分量，$f(C)$表示强连通分量 $C$ 的节点$v.f$ 的最大值, $d(C)$表示强连通分量 $C$ 的节点 $v.d$ 的最小值。如果存在一条边 $(u,v)\in G.E$满足 $u\in C$, $v\in C^{\prime }$，那么$f(C)>f(C^{\prime })$.
证明：根据深度优先搜索中，最先发现的节点在 C 中还是 C’ 中进行讨论。

• 如果 $d(C)<d(C^{\prime })$，那么深度优先搜索算法一定会通过 边 $(u,v)$ 遍历完 $C^{\prime }$ 中的节点后，在回到 $C$ 中。因此 $f(C)>f(C^{\prime })$.
• 如果 $d(C)>d(C^{\prime })$，那么由于 分量图是无环图，将无法通过 $C^{\prime }$ 到达 $C$中的任何一个节点。必然是算法返回 DFS 主循环后，再访问 $C$ 中的节点，此时仍有 $f(C)>f(C^{\prime })$ 证毕。

推论5.1：设$C$ 和$C^{\prime }$是图$G$的两个不同的强连通分量，如果存在一条边 $(u,v)\in G^T.E$，满足 $u,v\in C$, $u^{\prime },v^{\prime }\in C^{\prime }$，那么$f(C)<f(C^{\prime })$.
根据定理5 以及下图，本推论有较为直观的理解，不再证明。

强连通分量算法

strongly-connected-components(G)
	DFS(G) // 计算出 v.f
	compute GT // 计算转置图，节点列表按照 v.f 降序排列
	DFS(GT)
	print GT 的深度优先搜索森林。

定理6 强连通分量算法正确

证明： 数学归纳法：归纳假设是 算法第三行运行时，生成的前 k 棵树是强连通分量。初始情况 k = 0，显然成立。
假设前 $k$ 棵树是强连通分量，考虑第 $(k+1)$ 棵树。树跟节点为 $u$ ，$u$ 位于强连通分量 $C$ 中。由于$u$是根节点，对于除$C$ 外的未被访问的任意 强连通分量 $C^{\prime }$，有 $u.f=f(C)>f(C^{\prime })$。根据归纳假设 $C$ 当前所有的节点都是白色。根据白色路径定理，$C$ 中的所有其他节点都是 $u$ 的后代。根据推论 5.1，任何从 C 出发的边，一定通向 $f(C^b)$ 更大连通分量 $C^b$。因此根据我们的遍历顺序，除$C$内的节点外，不存在节点能够成为 $u$ 的后代。因此 $k+1$ 棵树刚好形成一个强连通分量。归纳 完毕。

可以从$G^T$ 的分量图角度来看待第二次深度优先遍历。就相当于逆着 $G^T$ 的分量图的拓扑序来遍历，看上面的右图更直观。

给出求强连通分量的 C++ 代码做参考

int V;
vector G[MAX_V];
vector Gt[MAX_V];
vector vs;
bool used[MAX_V];
int cmp[MAX_V]; // 表示 节点 v 所属强连通分量的拓扑序编号
void add_edge(int from, int to) {
	G[from].push_back(to);
	Gt[to].push_back(from);
}
void dfs(int v) {
	used[v] = true;
	for (int i = 0; i < G[v].size(); i++) {
		if (!used[G[v][i]) dfs(G[v][i]);
	}
	vs.push_back(v);
}
void rdfs(int v, int k) {
	used[v] = true;
	cmp[v] = k;
	for (int i = 0; i < Gt[v].size(); i++) {
		if (!used[v]) dfs(Gt[v][i])
	}
}

int scc() {
	memset(used, 0, sizeof(used));
	for (int v = 0; v < V; v++) {
		if(!used[v]) dfs(v);
	}
	memset(used, 0, sizeof(used));
	int k = 1;
	for (int v = V - 1; v >= 0; v--) {
		if(!used[vs[v]]) rdfs(vs[v], k++);
	}
	return k; // 表示有几组强连通分量
}

至此，应该可以说搞懂图的深度优先搜索了。