四棱锥：2017年理数全国卷B题19

四棱锥：2017年理数全国卷B题19

分值：12分

如图，四棱锥 中，侧面 为等边三角形且垂直于底面 ，， 是 的中点.

（1）证明∶直线 //平面 ;

（2）点 在棱 上，且直线 与底面 所成角为 ，求二面角 的余弦值.

2017年理数全国卷B

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【证明问题1】

作 中点 ，并连接 .

∵ 是 的中位线，

∴ 且

∵ ,

∴

∵ 且 ,

∴ 且

∴ 是平行四边形，,

又∵ 平面 ,

∴ 直线 //平面 . 证明完毕.

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【证明问题2】

取 中点 ，并连接 .

在平面 内作 , 交 于点 .

∵ 为等边三角形, 为 中点，

∴ ,

又∵ 侧面 平面 ，

∴ 平面 .

∵ , ∴ 平面 .

∴

∴ .

∵ ,

∴ ,

∴

∴

令 , 并设 , 依据勾股定理可得方程：

作 于 , 则 , 是二面角 的平面角.

依据勾股定理，

二面角 的余弦值

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【提炼与提高】

问题1的解答用到了：

（1）三角形的中位线性质

（2）平行四边形的性质

问题2的解答要点在于，将空间的问题转化为平面几何问题，用几何方法解决。

转化的关键在于抓住模型的基本特点： 是正三角形； 是等腰直角三角形；.

除了几何方法，还可以用向量方法解答此问题。

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