SVD分解原理及基于SVD分解的图像压缩和去噪

 

SVD分解是矩阵论中的一个知识点，特征值分解可以得到特征值与特征向量，特征值表示的是这个特征到底有多重要，而特征向量表示这个特征是什么，可以将每一个特征向量理解为一个线性的子空间，我们可以利用这些线性的子空间干很多的事情。SVD分解的公式如下，其中U和V都为正交矩阵，中间的为特征值构成的对角矩阵，相对于正交对角分解，SVD分解的适应性更强，应为A不必是方阵，下面是SVD分解的公式。

用SVD做图像压缩，就是用部分特征值以及左/右奇异矩阵部分列来近似矩阵A。对角矩阵的对角线元素都为非负的实数，且按照大小排列。大的特征值所对应的特征能够反映更多的矩阵信息。由于采用部分特征值及特征向量相对原始矩阵A而言，占用的空间更小，因此能够实现压缩。

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%%SVD分解，并且对图像进行压缩
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clc;clear all;close all;%清屏，关闭所有figure窗口，关闭所有工作空间变量

white=imread('white.jpg');%读入图片
[h w] = size(white(:,:,1));%h，w分别为图像的行数和列数
whiteDb = im2double(white);
imshow(whiteDb);

whiteNoise=imnoise(whiteDb);
figure;
imshow(whiteNoise);

[Sr,Vr,Dr] = svd(whiteDb(:,:,1));%对原始图像的R分量进行分解
[Sg,Vg,Dg] = svd(whiteDb(:,:,2));%对原始图像的G分量进行分解
[Sb,Vb,Db] = svd(whiteDb(:,:,3));%对原始图像的B分量进行分解
digVr = abs(diag(Vr));
figure;
plot([1:100],digVr(1:100),'-o');
xlabel('特征值的下标');ylabel('特征值的绝对值');title('拉伸强度随特征值数量的变换曲线');

%singularNumber = [1 10 30 50 100];%设置要取得奇异值的数量矩阵
%[numi,numj] = size(singularNumber);%取出来singularNumber的维数
%for j=1:numj
Rt = zeros(h,w);%生成SVD重构后的R分量矩阵
Gt = zeros(h,w);
Bt = zeros(h,w);
    for i=1:120%singularNumber(1,j)
        Rt = Rt+Vr(i,i)*Sr(:,i)*Dr(:,i)';%R分量求和
        Gt = Gt+Vg(i,i)*Sg(:,i)*Dg(:,i)';%G分量求和
        Bt = Bt+Vb(i,i)*Sb(:,i)*Db(:,i)';%B分量求和
    end

    ReImg(:,:,1) = Rt;ReImg(:,:,2) = Gt;ReImg(:,:,3) = Bt;
    ReImg = im2uint8(ReImg);
    figure;
    imshow(ReImg);
%end

原始的RGB图片一个分量，所占用的存储空间为m*n，而采用k个特征向量所重构的照片的存储空间为(m+n+1)*k,（m+n+1）

下图是原始图片（像素数：780*1080）

以及采用120个特征值重构的图片（像素数：（780+120+1080）*120）。