欧拉回路&欧拉路【详解】
1.引入
2.概念
3.解决方法
4.例题
5.回顾
1.引入
经典的七桥问题
哥尼斯堡是位于普累格河上的一座城市，它包含两个岛屿及连接它们的七座桥，如下图所示。
可否走过这样的七座桥，而且每桥只走过一次？
你怎样证明？
后来大数学家欧拉把它转化成一个几何问题——一笔画问题。
我们的大数学家欧拉，找到了它的重要条件
1.奇点的数目不是0个就是2个
奇点：就是度为奇数（有向图是判断出度与入度是否相等），反之为偶点
有向图1、连通 2、所有点出度等于入度或者一个点入度-出度=1，另外一个点出度-入度=1
2.图是联通的
2.概念
欧拉路：对于一个图，每条边可以且只能访问一次
欧拉回路：在欧拉图的情况下，最后要回到原点。也就是说欧拉路不一定是欧拉回路，但欧拉回路一定是欧拉路
3.解决方法：
1.dfs
第一步：判断图是否连通
第二步：判断奇点个数
很简单，但是使用dfs的话，就需要很多数组，并且用邻接矩阵是最方便的，所以费空间
2.并查集
分为G1和G2两个集合，G1表示已经联通的，G2表示未联通的
利用父亲表示法合并集合效率最高，也是上面那两步
4.例题
（1）
一笔画问题
题目描述
如果一个无向图存在一笔画，则一笔画的路径叫做欧拉路，如果最后又回到起点，那这个路径叫做欧拉回路。
输入
第一行n，m，0 < n <=20，表示有n个点，m条边，以下m行描述每条边连接的两点。
输出
如果有欧拉路或欧拉回路，输出一条路径即可，顶点之间由空格隔开。
如果没有，输出NO
样例输入1
5 5
1 2
2 3
3 4
4 5
5 1样例输出1
1 5 4 3 2 1
解法
1.dfs
简单，实用
费空间费时间
2.并查集
效率高，快速，不费时间不费空间
难，费劲
本蒟蒻用的是DFS
1、判断连通性，没有判断
就是要判断所有点都是连通的（dfs或者并查集）
如果不连通输出NO2、如果连通，统计奇点的个数
如果奇点个数为0则为欧拉回路
如果奇点个数为2则为欧拉路
其他情况则输出NO3、输出一个路径
dfs:
void dfs(int i)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(g[i][j]==1)
{
g[i][j]=0;
g[j][i]=0;
dfs(j);
}
}
c[++reckon]=i;
return;
}
调题过程很坎坷
40分：（未判断NO)
#include
using namespace std;
#define N 510
int g[N][N],d[N],c[N],n,m,p;
int dfs(int i)
{
int j;
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(g[i][j]==1)
{
g[i][j]=0;
g[j][i]=0;
dfs(j);
}
}
c[++p]=i;
return 0;
}
int main()
{
cin>>n>>m;
int x,y;
memset(g,0,sizeof(g));
for(int i=1;i<=m;i++)
{
cin>>x>>y;
g[x][y]=1;
g[y][x]=1;
d[x]++;
d[y]++;
}
int z=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(d[i]%2==1)
{
z=i;
}
}
dfs(z);
for(int i=1;i<=p;i++)
{
cout< 60分：（未判断连通性）
#include
using namespace std;
#define N 510
int g[N][N],d[N],c[N],n,m,reckon,oddity_point;
void dfs(int i)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(g[i][j]==1)
{
g[i][j]=0;
g[j][i]=0;
dfs(j);
}
}
c[++reckon]=i;
return;
}
int main()
{
cin>>n>>m;
int x,y;
memset(g,0,sizeof(g));
for(int i=1;i<=m;i++)
{
cin>>x>>y;
g[x][y]=1;
g[y][x]=1;
d[x]++;
d[y]++;
}
int z=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(d[i]%2==1)
{
z=i;
oddity_point++;
}
}
dfs(z);
if(oddity_point!=2&&oddity_point!=0)
{
cout<<"NO";
return 0;
}
for(int i=1;i<=reckon;i++)
{
cout< 100分AC：
#include
using namespace std;
#define N 510
int g[N][N],d[N],c[N],n,m,reckon,oddity_point,lt;
void dfs(int i)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(g[i][j]==1)
{
g[i][j]=0;
g[j][i]=0;
dfs(j);
}
}
c[++reckon]=i;
return;
}
int main()
{
cin>>n>>m;
int x,y;
memset(g,0,sizeof(g));
for(int i=1;i<=m;i++)
{
cin>>x>>y;
g[x][y]=1;
g[y][x]=1;
d[x]++;
d[y]++;
}
int z=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(d[i]%2==1)
{
z=i;
oddity_point++;
}
if(d[i]==0)
{
lt++;
}
}
dfs(z);
if(oddity_point!=2&&oddity_point!=0)
{
cout<<"NO";
return 0;
}
if(lt!=0)
{
cout<<"NO";
return 0;
}
for(int i=1;i<=reckon;i++)
{
cout< 5.回顾
因为我的测试点没有测出来问题所在：
问题：
如果1-2-3-4四个点一个环，5-6两个点连通，奇点个数为2，但整个图不连通
我的程序会说YES
可是根本不连通
输出5 6
碰上这样的就必须用DFS，并查集了
本蒟蒻偷了个小懒
因为碰上这样的（错误）输出一定不会是m+1个
所以判断一下输出个数是不是不等于m+1
如果不等于，输出NO。
#include
using namespace std;
#define N 510
int g[N][N],d[N],c[N],n,m,reckon,oddity_point,lt;
void dfs(int i)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(g[i][j]==1)
{
g[i][j]=0;
g[j][i]=0;
dfs(j);
}
}
c[++reckon]=i;
return;
}
int main()
{
cin>>n>>m;
int x,y;
memset(g,0,sizeof(g));
for(int i=1;i<=m;i++)
{
cin>>x>>y;
g[x][y]=1;
g[y][x]=1;
d[x]++;
d[y]++;
}
int z=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(d[i]%2==1)
{
z=i;
oddity_point++;
}
if(d[i]==0)
{
lt++;
}
}
dfs(z);
if(oddity_point!=2&&oddity_point!=0)
{
cout<<"NO";
return 0;
}
if(lt!=0)
{
cout<<"NO";
return 0;
}
if(reckon!=m+1)
{
cout<<"NO";
return 0;
}
for(int i=1;i<=reckon;i++)
{
cout< 最终，我们把无用的代码段删掉，调试结束
#include
using namespace std;
#define N 510
int g[N][N],d[N],c[N],n,m,reckon,oddity_point,lt;
void dfs(int i)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(g[i][j]==1)
{
g[i][j]=0;
g[j][i]=0;
dfs(j);
}
}
c[++reckon]=i;
return;
}
int main()
{
cin>>n>>m;
int x,y;
memset(g,0,sizeof(g));
for(int i=1;i<=m;i++)
{
cin>>x>>y;
g[x][y]=1;
g[y][x]=1;
d[x]++;
d[y]++;
}
int z=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(d[i]%2==1)
{
z=i;
oddity_point++;
}
}
dfs(z);
//判断连通性
if(reckon!=m+1)
{
cout<<"NO";
return 0;
}
//判断奇点个数
if(oddity_point!=2&&oddity_point!=0)
{
cout<<"NO";
return 0;
}
for(int i=1;i<=reckon;i++)
{
cout<