数据结构第二季 Day20 动态规划之最长公共子串、01 背包问题

一、最长公共子串

1、子串和子序列的区别是什么？最长公共子串问题是什么？

• 子串是连续的子序列

image.png

2、对于上述问题的动态规划三步曲（dp 定义的一切启发）？

• 对于状态定义，如果一维空间就是 dp[i] ，如果是二维空间就是 dp[i][j]，
• 基本套路是让 i 或者 ij 从尾部开始，往前面推衍（比如 i 和 i-1 的关系、如果不选 i 个会怎么样、如果选第 i 个会怎么样）
• 如果是二维的，就让其中一个一维数组从 0 个开始，去遍历另一个一维数组（其实就是两层 for 循环，确定 dp[i][j]）

image.png

3、为什么不定义成 dp[i][j] 是以str1[i]、 str2[j]结尾的最长公共子串呢？

• 因为如果这样定义的话，不容易表示 chars1 取 0 个数据 或者 chars2 取 0 个数据的情况
• 不是一定不行，但是这样就不利于代码的编写
• 所以遇到左开右闭，还是左闭右开；是从 1 到 length +1 ，还是 0 到 length；这些都可以根据题目的具体要求，灵活变动，方便代码的编写和思路梳理

4、最长公共子串的代码实现，单从代码角度，真心是简单的！

image.png

• 时间复杂度 O(n*m)
• 空间复杂度 O(n*m)

5、分析 dp[i][j]的数据存放情况，学会画图也是非常重要的技能，可以帮助分析情况。

image.png

6、通过分析 dp 的分布图，我们发现 dp[i][j] 的计算只依赖于左上角的数值，所以上面空间可以优化成一维数组。

image.png

• 小技巧：并且还发现，可以把 j 倒过来遍历，这样临时变量也省了。

二、01 背包问题

1、什么是 01 背包问题？

image.png

2、状态定义方面的思考

• 处理这种二维的 dp，可以控制其中一维度，让另一维度从 0 开始递增，从而找规律
• 然后观察固定哪一维度，具有 ①最优子结构性 ②无后效性

3、01 背包的动态规划三步曲？

image.png

4、状态定义的思考，是否可以像下面一样，画出 dp[i][j]的状态图？

image.png

5、有没有感觉动态规划就是搞数组？要么搞个 dp[i] 的一维数组，要么搞个 dp[i][j] 的二维数组

• 为什么是搞数组呢？这就是要再次理解下动态规划的概念了

image.png

6、根据动态规划三步曲写出的代码

image.png

7、思考下 01 背包的 i 和 j 可以颠倒顺序吗？

• 不可以，因为动态的是 weights 和 values 才能便于计算

image.png

三、01 背包恰好装满

1、什么是 01 背包恰好装满问题？

image.png

2、观察 dp[i][j]

image.png

3、听说只要改变初始化条件即可

image.png

4、动态规划，只要把现有的题目做好，吃透就行。

• 其他题目也大都类似，再难也不会太难了