最小剩余空间-第11届蓝桥杯省赛Python真题精选

[导读]：超平老师的Scratch蓝桥杯真题解读系列在推出之后，受到了广大老师和家长的好评，非常感谢各位的认可和厚爱。作为回馈，超平老师计划推出《Python蓝桥杯真题解析100讲》，这是解读系列的第31讲。

最小剩余空间，本题是2020年6月20日举办的第11届蓝桥杯青少组Python编程省赛真题，题目要求编程计算空间问题，在n个物品中，任取若干个装入容器内，如何使容器的剩余空间为最小。

先来看看题目的要求吧。

一.题目说明

时间限制：4000Ms

内存限制：589824K3

编程实现：

现有一个容器，其容量为V（0 ＜ V ＜ 1001，正整数），同时有n个物品（0＜ n ≤ 30），每个物品体积大小不同（正整数）。在n个物品中，任取若干个装入容器内，使容器的剩余空间为最小。

输入描述：

输入容器大小V（0 ＜ V ＜ 1001，正整数）

输入物品数量n（0 ＜ n ≤ 30）

输入n个物品的不同大小（正整数）

输出描述：

剩余最小空间值

样例输入:

100

4

50

20

45

19

样例输出：

5

样例输入说明：

＂100＂输入的是容器大小V，＂4＂输入的是物品数量n，＂50＂， ＂20＂，＂45＂，＂19＂输入的是4个物品体积。

样例输出说明：

“5”是容器大小100减掉4个物体不同组合最为接近容器大小的一组值。（物品组合个数不限制，只找组合后最接近容器大小的值）

评分标准：

• 20分：能正确输出一组数据；

• 20分：能正确输出两组数据；

• 20分：能正确输出三组数据；

• 20分：能正确输出四组数据；

• 20分：能正确输出五组数据。

二.思路分析

这是一道算法题，考查的知识点涉及枚举、组合算法和动态规划算法。

经典的装箱问题，这是信奥一本通书中的一道原题，题号是1295。对于C++而言，解决的方法是动态规划，对于Python而言，除了动态规划，还可以使用组合算法来实现。

首先，我们要彻底理解题目的意思，在n个物品中，任取若干个装入容器内，使容器的剩余空间为最小。容器的容量是固定的，剩余空间最小，就意味着物品的组合要占用最大的空间。

需要注意，每个物品最多只能取1次，要么不取，要么就取，就只有两种不同的状态。

如果将物品的体积当作价值，问题就变成了在固定大小的容器中装入价值最大的物品，这不就是鼎鼎大名的01背包吗？

接下来，我们分别使用组合和动态规划两种算法来分析其实现思路。

1.组合算法

组合算法相对比较容易理解，就是找出所有的组合，看看在这些组合中，满足总体积小于V的组合中，哪个的总体积最大。

以题目给出的样例数据进行分析，容器的容量为100，4个物品的体积大小分别为50、20、45和19。

由于物品可以是任意组合的，我们分4种情况来讨论。

1). 只选取一个物品时，有4种组合，如下：

(50)、(20)、(45)、(19)；

其中，总体积最大的是50，即只选第一个物品。

2). 选取两个物品时，有6种组合，如下：

(50,20)、(50,45)、(50,19)、(20,45)、(20,19)、(45,19)

其中，总体积最大的是95，即选择1和3两个物品。

3). 选取3个物品时，有4种组合，如下：

(50,20,45)、(50,20,19)、(50,45,19)、(20,45,19)

其中，组合(50, 20, 45)和(50, 45, 19)的总体积超过100，直接忽略，在剩下的两组中，总体积最大的是89，即选择1、2、4这3个物品。

4). 选取4个商品，只有一种组合，如下：

(50,20,45,19)；

组合的总体积超过100，可以忽略。

由此，我们可以得出，在不超过100的组合中，选择50和45这两个物品的总容量是最大的，总体积是95，因此剩余空间是100 - 95 = 5。

对于组合的实现，我们可以自己编写代码来实现，但是Python已经提供了内置模块itertools库，可以高效地实现数据的排列组合。

关于itertools库的使用，在《排列组合-第11届蓝桥杯选拔赛Python真题精选》做过详细介绍，这里就不再赘述了。

2. 动态规划算法

动态规划的核心思想是将原问题拆解成若干个重叠的子问题，通过将子问题的解存储起来，避免重复计算，从而提高了算法的效率，其中的核心找到递推公式（状态转移方程）。

对于动态规划，通常可以分成如下4个典型步骤：

• 确定dp数组以及下标的含义

• 确定递推公式

• 初始化dp数组

• 确定遍历顺序

对dp数组的确定最为关键，装箱问题需要考虑两个维度，分别是物品和体积，因此需要使用二维数组dp[i][j]来表示，其意思表示在大小为j的容器中，任取0~i中的物品组合时的最大体积。

这里的i表示在前i个物品中任意组合，j则表示容器的大小，其取值有讲究，通常是每次增加1。

为了方便说明，我们换一组数据，假定总容量为10，有3个物品，其体积分别是5、8、4，可以制作表格如下：

这是一张二维表格，行代表物品，列代表容器的容量，动态规划的过程其实就是如何填写这张表格的过程，填写过程中，始终牢记dp[i][j]的含义。

其中，物品0表示没有装入任何物品，体积0表示容器大小为0，在这两种情况下，结果都为0，所以都初始化为0。

最终，我们要计算出3种物品装入大小为10的容器中的最大体积，这就意味着i = 3，j = 10，对应于dp[3][10]，也就是上面表格中最右下角的单元格。

这里的推导公式是什么呢？

此时，我们要使用拆解思维，将大问题拆分成小问题。再次牢记dp[i][j]的含义，它是指前i个物品装入大小为j的容器中的最大值。

不妨反问一下，对于第i个物品，我们到底要不要装入到大小为j的容器中呢，无非就是两种情况：

• 不装

• 装入

什么时候不装呢？当然是物品的大小超过当前容器的大小了。

比如将大小为5的物品装入容量为4的容器中，肯定装不下，此时dp[i][j] = dp[i -1][j]，dp[i-1][j]的意思是指任意取前i-1个物品组合装入大小为j的容器中的最大体积。

dp[i][j] = dp[i-1][j]

从二维表格的角度来讲，dp[i-1][j]就是dp[i][j]正上方的单元格，这一下好理解了吧？

如果第i个物品的大小小于当前容器的大小，此时就要考虑一下，是装入划算呢，还是不装入划算呢？

如果要装入的话，那么首先就要将自己的体积累加起来，与此同时，它有可能会把其它物品挤出来，这就意味着前i-1个物品在容量只有（j - vi）的最大体积是dp[i-1][j-vi]，其中vi是指第i个物品的体积。

是装入划算呢，还是不装入划算呢？

这是个问题，将两种情况拿出来较量一下，取较大的那一个就行，所以，其递推公式如下：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-vi] + vi)

注意，上面的vi应该是vi。

有了递推公式，就可以按照物品从上到下依次遍历，对于每个物品从左到右依次遍历，这是一个嵌套循环。

按照这个思路，可以将上面的表格填充完整，如下：

强烈建议你按照上面的分析过程，一步一步地来填写这个表格，表格最右下角的单元格就是最大体积值。

思路有了，接下来，我们就进入具体的编程实现环节。

三.编程实现

根据上面的思路分析，我们使用两种方法来编写程序：

• 组合算法；

• 动态规划算法；

1. 组合算法

根据前面的思路分析，编写代码如下：

代码不难，简单说明5点：

1). 在输入物品体积的时候，一行一个数据，因此需要使用循环逐个获取并存入列表；

2). combinations()函数有两个参数，第一个参数是可迭代对象，第二个参数是组合的个数，对于n个物品，可以选1个、2个、3个....n个，所以需要使用循环来处理；

3). combinations()函数返回的结果是可迭代对象，为了方便处理，这里使用了list()函数将其转成列表，并追加到res列表中；

4). 在组合过程中，并没有考虑超过v的组合，因此需要单独处理，这里使用了列表推导式，将过滤后的组合进行累加，并存入到列表res1中；

5).  使用max()函数获取最大体积，然后使用v减去最大体积，就是剩余的最小空间了。

2. 动态规划算法

根据思路分析，我们编写代码如下：

代码还是挺有难度的，简单说明两点：

1). 根据前面的思路分析，为方便计算，增加了物品0和体积0，因此二维数组的长度需要在给定值的基础上加1；

2). 构造dp数组的时候，使用了列表推导式；

实际上，对于二维数轴的实现，我们可以使用滚动数组的思想进行压缩和简化，然后通过一维数组来实现，其代码如下：

关于滚动数组的原理和实现过程，这里就不再展开了，后续超平老师会开辟专题来讲述，代码理解起来有些难度，先参考一下吧。

接下来是测试环节了。

使用题目的样例数据，总容量为100，有4个物品，其体积分别是50、20、45、19，结果如下：

假定总容量为10，有3个物品，其体积分别是5、8、4，结果如下：

假定总容量为24，有6个物品，其体积分别是8、3、12、7、9、7，结果如下：

至此，整个程序就全部完成了，你也可以输入不同的数字来测试效果。

四.总结与思考

本题的分数为100分，代码在15行左右，涉及到的知识点包括：

• 循环语句，主要for...in循环；

• 输入输出处理；

• 系统函数的使用；

• 列表运算；

• 组合函数；

• 动态规划算法；

作为高级组最后一题，难度较大，虽然代码不多，这里的难点是动态规划算法的理解和实现。

从题目本身的角度来讲，这是一个组合问题，通常可以使用枚举来实现，但是题目给出的v和n都是变化，使用枚举比较麻烦，而且枚举的效率不高，尤其是对于数据量较大的情况，考试时存在超时情况。

针对排列组合，在Python编程中，最简单的实现方式就是使用itertools库，重点是combinations()和permutations()两个函数。

在一般情况下，combinations函数的效率是很高的，因为它使用了高效的算法来生成组合，并且在实现上进行了优化。

然而，当元素数量较大或者要生成的组合数量非常庞大时，其效率会受到影响。这是因为生成所有可能的组合需要消耗大量的计算资源和内存空间。

在实际使用中，如果需要生成大量组合，可以考虑对算法进行优化，或者使用其他更高效的方法来处理。

作为经典算法，动态规划还是有些难度的，在学习的时候，一定要彻底理解dp数组的含义，结合二维表格来理解，最好的方法就是自己绘制二维表格，一步一步地填写好表格，关于动态规划，超平老师后面会有专题介绍，请持续关注。

超平老师给你留一道思考题，将二维数组简化为一维数组，其原理是什么，需要注意什么问题？

你还有什么好的想法和创意吗，也非常欢迎和超平老师分享探讨。

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