介绍几种常见的质数筛选法

质数：除了1和他本身没有其它因数的正整数就是质数。1不是质数，2是质数。

1.暴力筛选法

• 原理
  求x的质数，令y从2到 $\sqrt[]{x}$（向下取整，比如2.4=2）依次尝试 ，如果x%y=0，那么x不是质数。（2要单独讨论，否则按照这个逻辑2不是质数）。
  • 为什么取$\sqrt[]{x}$?
    答：如果取到$\sqrt[]{x}$还没有找到x的约数，那么就可以断定x一定是质数！！。$\sqrt[]{x}$*$\sqrt[]{x}$=x，这是一个特殊的位置。可以将这个等式抽象为a * b=x。a和b的关系是你消我涨，即a=$\frac{x}{b}$。$\sqrt[]{x}$是a=b的特殊情况，如果a小于等于$\sqrt[]{x}$的数里没有x的约数，那么当a大于$\sqrt[]{x}$的时候一样没有，因为a小于等于$\sqrt[]{x}$的时候，b是大于等于$\sqrt[]{x}$的。排除a不是x的约数的同时将b也排除了，因为约数是成对出现的。所以当a大于$\sqrt[]{x}$的时候实际上在做重复的计算，相当于把a，b交换了一个位置，实际上当a取值小于等于$\sqrt[]{x}$的时候已经把所有可能的约数排除了。
  • 为什么$\sqrt[]{x}$要向下取整而不是向上取整？
    答：第一个问题解释了，约数是成对出现的，只需要枚举a从2到$\sqrt[]{x}$即可，那么b=$\frac{x}{a}$同时被考虑到了。如果$\sqrt[]{x}$不是整数，那么就向下取整，去掉小数部分，这样可以保证a的枚举没有遗漏（a小于等于$\sqrt[]{x}$）。如果向上取整，那么a的取值大于$\sqrt[]{x}$，b小于$\sqrt[]{x}$。这个组合实际上之前可能已经被排除了，所以重复计算了一对约数。可能会遗漏约数导致判断错误。
  • 为什么2要单独考虑?
    答：代码的逻辑是：从2到$\sqrt[]{x}$依次找x的约数，但是2本身可以被2整除，这样就会误判2有约数，所以2要特判一下。
• 代码

#include
#include
using namespace std;

bool violence(int n)  //violence  暴力 
{
	if (n == 1)return false;
	if (n == 2)return true;

	for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++)   //sqrt函数向下取整的
	{
		if (n % i == 0)return false;   //可以被i整除，不是质数
	}
	return true;
}

int main()
{
	for (int i = 1; i <= 100; i++)  // 找到1-100内的质数
	{
		if (violence(i))cout << i << " ";
	}
	return 0;
}

• 运行结果
  

2.普通优化

• 优化原理
  • 先贴上代码好理解，否则讲半天不知道在说什么。（看完回到这里）
  • 如果看懂了跳过，否则看下一行
  • 唯一的难点：为什么当 st[i] == false，则 i 一定是质数呢？
    答：当遍历到 i 的时候，2~i-1的所有倍数都被标记成合数了，如果此时i没有被标记，说明i一定是质数。因为i的约数一定是在[2,i-1]的区间内的，而这个区间的所有数的倍数都不能构成i，说明这些数都不是i的约数，那么i就是质数。

int primes[N], cnt;     // primes[]存储所有质数，cnt记录质数的下标
bool st[N];         // st[i]==true表示i不是质数

void get_prime(int n)  //挑选2到n中所有的质数
{
    for(int i = 2; i <= n; i ++)
    {
        if(!st[i])   //当前的数是i，如果st[i]==false，那么说明i这个数一定是质数(理解不了先不解释，看后面的代码)
        	primes[cnt ++] = i;    //存储当前的质数
        
        for(int j = i + i; j <= n; j += i)   //将i的所有倍数都标记为true，因为i的倍数一定不是质数。
            st[j] = true;  
    }
}

3.埃氏筛法

• 数的公理( 两种形式）
  $$(1)任意一个正整数（大于等于2）=x_1^{k_1}\ast x_2^{k_2}\ast ....\ast x_n^{k_n}$$
  $$(2)任意一个正整数（大于等于2）=x_1^{k_1}\ast (x_2^{k_2}\ast ....\ast x_n^{k_n})$$
  其中$x_n$都是质因数，$k_n$是大于等于0的正整数

  • 用人话说就是一个数分解开来，一定是若干个质数相乘，这些分开的数一定是质数，如果发现分解的数有合数，那么就没有分解彻底，再把合数分解成质数

• 优化原理
  普通优化是将 i 之前的所有数的倍数都标记，以此判断i是不是合数。但是数的公理第2个形式说明了，一个数必然是由若干个质数的乘积构成的，那么就不需要取将i之前所有数的倍数标记，只需要将i之前的所有质数的乘积标记就可以了。

int primes[N], cnt;     // primes[]存储所有质数，cnt记录质数的下标
bool st[N];         // st[i]==true表示i不是质数

void get_primes(int n)//挑选2到n中所有的质数
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (st[i])   //如果st[i]==true,说明i不是质数
        	continue;  
        primes[cnt ++ ] = i;
        for (int j = i + i; j <= n; j += i)  //只要把质数的倍数筛选掉就可以了。
            st[j] = true;
    }
}

4.线性筛选法

• 前集回顾
  埃式筛选法有一个很明显的缺陷，即筛选（标记）合数的时候有大量重复的步骤。比如：
  当 i = 3的时候，将6，9，，，51，，都标记了。当 i = 17 的时候，会标记，34，51，，，发现有重复的项51。

• 目的和公理

  • 目的
    让每个合数只会被筛选一次。
  • 数学公理
    每个数都有一个最小质因数，比如2的最小质因数是2，4的最小质因数是2，5的最小质因数是5，6的最小质因数是2，7的是7，8的是2，9的是3，10的是2，11的是11，12的是2…

• 原理
  任何数只有一个最小质因数，只要保证每个合数都是最小质因数筛选的，就可以保证不会重复筛选。（有点难以理解）

int primes[N], cnt;     // primes[]存储所有质数，cnt记录质数的下标
bool st[N];         // st[i]==true表示i不是质数

void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;  //合理性证明最底下
        for (int j = 0; primes[j] <= n/i; j ++ )
        {
            st[primes[j] * i] = true;  //筛选的合数primes[j] * i的最小质因数一定是primes[j],就用primes[j]去筛选它
            if (i % primes[j] == 0) //为了避免重复筛选合数。
            //如果i % primes[j] == 0，则primes[j]是i的最小质因数，同时说明primes[j]是i*primes[j]的最小质因数（因为primes[j]是递增的），
            //如果继续循环，下一步就是st[primes[j+1]*i]=true,因为primes[j+1]>primes[j],primes[j+1]<=i,所以primes[j+1]*i的最小质因数仍然是primes[j],
            //但是根据原理，一个数需要被他的最小质因数筛选才不会重复，这里却用primes[j+1]筛选了primes[j+1]*i。重复筛选了。
            	break;
        }
    }
}

i	筛掉的数
2	4
3	6,9
4	8
5	10,15,25
6	12
7	14,21,35,49
8	16
9	19,27
10	20
11	22,33,55,77,121

Question区：

1.为什么st[i]=false可以表示是质数（明明下面的for循环和埃式筛选法不一样）
答：i=$x_1$*$x_2$，$x_1$表示x的最小质因数，$x_1$是[2,i-1]里面的一个质数，$x_2$可以是质数也可以是合数。（1）$x_2$是质数：我们从代码可以归纳出，当k（2~i-1）是质数的时候，它会筛掉所有的k * primes[j]（j从0到cnt-1）, 所以i会被[2,i-1]内的某一个质数筛掉。（2）$x_2$是合数：我们从代码归纳出，当k是合数的时候，会筛选出[2,k的最小质因子] * primes[j]， 而$x_1$是最小质因数，那么一定有一个k会筛选出$x_2$.
2.为什么要if (i % primes[j] == 0)break；
答：按照原理来的，每个数都要由他的最小质因数来更新，如果说这一步不退出而是继续循环，那么下一步i * primes[j+1]将被筛选掉，但是i * primes[j+1]的最小质因数是primes[j]（因为i不变，上一步i%primes[j]==0且primes[j+1]>primes[j])，而现在i * primes[j+1]由primes[j+1]来筛选了，这样导致筛选过程提前了，后面又会筛选导致重复（当i变大的时候会再次筛选一次）。

线性筛选法还是很难理解的。本质在于：每个数只被筛选一次，且是被去最小质因数筛选的。