对比SPFA与Dijkstra算法堆优化

先上一道板子题：
题目来源：http://hihocoder.com/problemset/problem/1093
描述
万圣节的晚上，小Hi和小Ho在吃过晚饭之后，来到了一个巨大的鬼屋！

鬼屋中一共有N个地点，分别编号为1…N，这N个地点之间互相有一些道路连通，两个地点之间可能有多条道路连通，但是并不存在一条两端都是同一个地点的道路。

不过这个鬼屋虽然很大，但是其中的道路并不算多，所以小Hi还是希望能够知道从入口到出口的最短距离是多少？

提示：Super Programming Festival Algorithm。
输入
每个测试点（输入文件）有且仅有一组测试数据。

在一组测试数据中：

第1行为4个整数N、M、S、T，分别表示鬼屋中地点的个数和道路的条数，入口（也是一个地点）的编号，出口（同样也是一个地点）的编号。

接下来的M行，每行描述一条道路：其中的第i行为三个整数u_i, v_i, length_i，表明在编号为u_i的地点和编号为v_i的地点之间有一条长度为length_i的道路。

对于100%的数据，满足N<=10^5，M<=106, 1 <= length_i <= 10^3, 1 <= S, T <= N, 且S不等于T。

对于100%的数据，满足小Hi和小Ho总是有办法从入口通过地图上标注出来的道路到达出口。

输出
对于每组测试数据，输出一个整数Ans，表示那么小Hi和小Ho为了走出鬼屋至少要走的路程。

样例输入
5 10 3 5
1 2 997
2 3 505
3 4 118
4 5 54
3 5 480
3 4 796
5 2 794
2 5 146
5 4 604
2 5 63
样例输出
172
解决：
1.DIJ算法的堆优化
DIJ算法的时间复杂度是O(n2)的，在一些题目中，这个复杂度显然不满足要求。所以我们需要继续探讨DIJ算法的优化方式。

堆优化的原理
堆优化，顾名思义，就是用堆进行优化。我们通过学习朴素DIJ算法，明白DIJ算法的实现需要从头到尾扫一遍点找出最小的点然后进行松弛。这个扫描操作就是坑害朴素DIJ算法时间复杂度的罪魁祸首。所以我们使用小根堆，用优先队列来维护这个“最小的点”。从而大大减少DIJ算法的时间复杂度。

堆优化的代码实现
说起来容易，做起来难。

我们明白了上述的大体思路之后，就可以动手写这个代码，但是我们发现这个代码有很多细节问题没有处理。

首先，我们需要往优先队列中push最短路长度，但是它一旦入队，就会被优先队列自动维护离开原来的位置，换言之，我们无法再把它与它原来的点对应上，也就是说没有办法形成点的编号到点权的映射。

我们用pair解决这个问题。

pair是C++自带的二元组。我们可以把它理解成一个有两个元素的结构体。更刺激的是，这个二元组有自带的排序方式：以第一关键字为关键字，再以第二关键字为关键字进行排序。所以，我们用二元组的first位存距离，second位存编号即可。

然后我们发现裸的优先队列其实是大根堆，我们如何让它变成小根堆呢？

有两种方法，第一种是把第一关键字取相反数，取出来的时候再取相反数。第二种是重新定义优先队列：

priority_queueq;
解决了这些问题，我们愉快地继续往下写，后来我们发现，写到松弛的时候，我们很显然要把松弛后的新值也压入优先队列中去，这样的话，我们又发现一个问题：优先队列中已经存在一个同样编号的二元组（即第二关键字相同），所以每次堆顶的pair可能是松弛之前的版本，不需要再次进行扩展。

怎么办呢？？
所有的点可分为两个集合，一个是已经确定到源点最短距离的点构成的集合，另一个是未确定到源点最短路径的点构成的集合。
可以用vis数组记录每个点所属集合。
如果属于第一个集合，直接continue.
也可以不用vis数组：我们在进入循环的时候就开始判断：如果堆顶记录的dis大于现在的dia[v]，说明是更新前的pair，直接pop掉，再continue，成功维护了优先队列元素的不重复。

所以我们得到了堆优化的代码：
版本1：小根堆+vis数组（相对好理解）

#include 
using namespace std;
const int maxn = 1e5+1;
const int INF = 1e9+1;
struct edge{
	int from, to, cost;
};
vector <edge> G[maxn];
int n, m, s, t, d[maxn];
bool vis[maxn];//用vis的版本
typedef pair<int, int> P;

void dijkstra(int s){
	priority_queue <P, vector<P>, greater<P> > q;//用小根堆
	fill(d, d+maxn, INF);
	memset(vis, false, sizeof(vis));
	d[s] = 0;
	q.push((P){d[s], s});
	while(!q.empty()){
		P u = q.top();
		q.pop();
		int v = u.second;
		if(vis[v])
			continue;
		vis[v] = true;
		for(int i=0; i<G[v].size(); i++){
			edge e = G[v][i];
			if(d[v]<INF && d[e.to]>d[v]+e.cost){
				d[e.to] = d[v]+e.cost;
				q.push((P){d[e.to], e.to});
			}
		}
	}
}

int main(){
	scanf("%d %d %d %d", &n, &m, &s, &t);
	for(int i=1; i<=m; i++){
		int x, y, z;
		scanf("%d %d %d", &x, &y, &z);
		G[x].push_back((edge){x, y, z});
		G[y].push_back((edge){y, x, z});
	}
	dijkstra(s);
	printf("%d", d[t]);
	return 0;
}

版本2：大根堆+不用vis（代码稍少）

#include 
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int Max=1e6+100;
const int inf=1e9;
int N,M,S,T;
struct edge
{
    int u,v,w;
};
vector<edge>G[Max];
typedef pair<int,int> P;
priority_queue<P>que;//大根堆取相反数
int dis[Max];
void Djistra()
{
    fill(dis,dis+Max,inf);
    que.push(P{0,S});
    dis[S]=0;
    while(!que.empty())
    {
        P now=que.top();
        que.pop();
        int from=now.second;
        if(dis[from]<-now.first)continue;//不用vis数组
        int SIZE=G[from].size();
        for(int i=0;i<SIZE;i++)
        {
            edge e=G[from][i];
            if(dis[e.v]>dis[e.u]+e.w)
            {
                dis[e.v]=dis[e.u]+e.w;
                que.push(P{-dis[e.v],e.v});
            }
        }
    }
}
int main()
{
    cin>>N>>M>>S>>T;
    for(int i=0;i<M;i++)
    {
        int u,v,w;
        cin>>u>>v>>w;
        G[u].push_back(edge{u,v,w});
        G[v].push_back(edge{v,u,w});
    }
    Djistra();
    cout <<dis[T] << endl;
    return 0;
}

2.spfa算法——队列优化的Bellman-Ford

#include 
using namespace std;
const int maxn = 1e5+1;
const int INF = 1e9+1;
struct edge{
	int from, to, cost;
};
vector <edge> G[maxn];
int n, m, s, t, d[maxn], num[maxn];
bool inque[maxn];
queue <int> q;

bool spfa(int s){
	fill(d, d+maxn, INF);
	memset(inque, false, sizeof(inque));
	memset(num, 0, sizeof(num));
	d[s] = 0;
	q.push(s);
	num[s] = 1;
	inque[s] = true;
	while(!q.empty()){
		int u = q.front();
		q.pop();
		inque[u] = false;
		for(int i=0; i<G[u].size(); i++){
			edge e = G[u][i];
			if(d[u]<INF && d[e.to]>d[u]+e.cost){
				d[e.to] = d[u]+e.cost;
				if(!inque[e.to]){
					q.push(e.to);
					inque[e.to] = true;
					if(++num[e.to]>n){ // 有负环 
						return true;
					}
				}
			}
		} 
	}
	return false;
}

int main(){
	scanf("%d %d %d %d", &n, &m, &s, &t);
	for(int i=1; i<=m; i++){
		int x, y, z;
		scanf("%d %d %d", &x, &y, &z);
		G[x].push_back((edge){x, y, z});
		G[y].push_back((edge){y, x, z});
	}
	if(spfa(s) || d[t]==INF) // 有负环或无法走到 
		printf("circle\n"); 
	else
		printf("%d", d[t]);
	return 0;
}

算法思路对比
Dijkstra+heap是用小根堆，每次取出d最小的点，来更新距离，那么这个点来说，最小距离就是当前的d。
SPFA是用双端队列，每次取出队头，来更新距离，它之后可能还会入队。它是一种动态逼近法，因为每次松弛距离都会减小，所以松弛一定会有结束的。如果一个点入队超过n次就是存在负环。
复杂度分析对比
Dijkstra+heap

因为是堆，取队头需要O(lgV)。
松弛边时，因为点的d改变了，所以点v需要以新距离重新入堆，O(lgV)，总共O(ElgV)。
因此总的是O((V+E)lgV)
SPFA

论文证明也不严格。复杂度不太好分析。
总的是O(kE)。k大概为2。
复杂度应该是 O(VE)。
适用场景
如果是稠密图，Dijkstra+heap比SPFA快。稀疏图则SPFA更快。SPFA可以有SLF和LLL两种优化，SLF就是d比队头小就插入队头，否则插入队尾。
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