基于课本题：2018年理数全国卷C题19

基于课本题：2018年理数全国卷C题19

分值：12分

如图，边长为 2 的正方形 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 的点.

（1）证明∶平面 平面 ;

（2）当三棱锥 体积最大时，求面 与面 所成二面角的正弦值.

2018年理数全国卷C

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【解答问题1】

∵ 是矩形，∴

又∵ 平面 平面 ，

∴ 平面 ，

又∵ 平面 ，

∴

∵ 是直径，而点 在半圆弧上，

∴

∵ ,

∴ 平面

又∵ 平面 ,

∴ 平面 平面 .

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【解答问题2】

作 中点 , 中点 . 连接 .

在半圆弧所在平面内作 , 点 为垂足.

∵ 是正方形， 是 的中点，

∴

∵ 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直，

又∵ ,

∴ 平面

当点 与点 重合时，三棱锥 体积最大.

∵ 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直，

,

∴ 平面 .

是 在平面 内的投影.

根据勾股定理可得：

当三棱锥 体积最大时，求面 与面 所成二面角的余弦值 .

正弦值 .

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【提炼与提高】

求二面角的余弦值有三种方法：

（1）找出平面角，再求平面角的余弦值；

（2）利用投影面积之比求余弦值；

（3）空间向量法；

求出余弦值，即可算出正弦值。

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