LeetCode刷题--- 买卖股票的最佳时机 III

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前言：这个专栏主要讲述动态规划算法，所以下面题目主要也是这些算法做的  

我讲述题目会把讲解部分分为3个部分：
1、题目解析

2、算法原理思路讲解

3、代码实现

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买卖股票的最佳时机 III

题目链接：买卖股票的最佳时机 III

题目

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
     随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2：

输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。   
     注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。   
     因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3：

输入：prices = [7,6,4,3,1] 
输出：0 
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

示例 4：

输入：prices = [1]
输出：0

提示：

• 1 <= prices.length <= 105
• 0 <= prices[i] <= 105

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解法

算法原理讲解

我们这题使用动态规划，我们做这类题目可以分为以下五个步骤

1. 状态显示
2. 状态转移方程
3. 初始化（防止填表时不越界）
4. 填表顺序
5. 返回值

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• 状态显示

由于有「买⼊」「可交易」两个状态，因此我们可以选择⽤两个数组。但是这道题⾥⾯还有交易次 数的限制，因此我们还需要再加上⼀维，⽤来表⽰交易次数。其中：

1. f[i][j] 表⽰：第 i 天结束后，完成了 j 次交易，处于「买⼊」状态，此时的最大利润；
2. g[i][j] 表⽰：第 i 天结束后，完成了 j 次交易，处于「卖出」状态，此时的最大利润。

• 状态转移方程

对于 f[i][j] ，我们有两种情况到这个状态：

1. 在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于「买⼊」状态，第 i 天啥也不⼲即可。此时最大利润为： f[i - 1][j] ；
2. 在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于「卖出」状态，第 i 天的时候把股票买了。此时的最⼤利润为： g[i - 1][j] - prices[i] 。
3. 综上，我们要的是「最⼤利润」，因此是两者的最⼤值： f[i][j] = max(f[i - 1][j],g[i - 1][j] - prices[i]) 。

对于 g[i][j] ，我们也有两种情况可以到达这个状态：

1. 在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于「卖出」状态，第 i 天啥也不⼲即可。此时的 最大利润为： g[i - 1][j] ；
2. 在 i - 1 天的时候，交易了 j - 1 次，处于「买⼊」状态，第 i 天把股票卖了，然后就完成了 j ⽐交易。此时的最⼤利润为： f[i - 1][j - 1] + prices[i] 。但是这个状态不⼀定存在，要先判断⼀下。
3. 综上，我们要的是最⼤利润，因此状态转移⽅程为：
   1. g[i][j] = g[i - 1][j];
   2. if(j >= 1) g[i][j] = max(g[i][j], f[i - 1][j - 1] + prices[i]);

• 初始化（防止填表时不越界）

由于需要⽤到 i = 0 时的状态，因此我们初始化第⼀⾏即可。

1. 当处于第 0 天的时候，只能处于「买⼊过⼀次」的状态，此时的收益为 -prices[0] ，因此 f[0][0] = - prices[0] 。
2. 为了取 max 的时候，⼀些不存在的状态「起不到⼲扰」的作⽤，我们统统将它们初始化为 - INF （⽤ INT_MIN 在计算过程中会有「溢出」的⻛险，这⾥ INF 折半取0x3f3f3f3f ，⾜够⼩即可）

• 填表顺序

从「上往下填」每⼀⾏，每⼀⾏「从左往右」，两个表「⼀起填」。

• 返回值

返回处于「卖出状态」的最⼤值，但是我们也「不知道是交易了⼏次」，因此返回 g 表最后⼀⾏

的最⼤值。

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代码实现

class Solution {
public:
    const int INF = 0x3f3f3f3f;
    int maxProfit(vector& prices) 
    {
        int n = prices.size();
        vector> f(n, vector(3, -INF));
        auto g = f;

        // 初始化
        f[0][0] = -prices[0];
        g[0][0] = 0;
        for(int i = 1; i < n; i++)
        {
            for(int j = 0; j < 3; j++)
            {
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], g[i - 1][j] - prices[i]);
                g[i][j] = g[i - 1][j];
                if(j >= 1) // 如果该状态存在
                {
                    g[i][j] = max(g[i][j], f[i - 1][j - 1] + prices[i]);
                }
            }
        }
        // 找到最后⼀⾏的最⼤值
        int ret = 0;
        for(int j = 0; j < 3; j++)
        {
            ret = max(ret, g[n - 1][j]);
        }
        return ret;
    }
};