正则化(Regularization)

一、过拟合的问题

        到现在为止，我们已经学习了几种不同的学习算法，包括线性回归和逻辑回归，它们能够有效地解决许多问题，但是当将它们应用到某些特定的机器学习应用时，会遇到过度拟合(over-fitting)的问题，可能会导致它们的效果很差。在这节内容中，我将为你解释什么是过度拟合问题，并且讲述一种称为正则化(regularization)的技术，它可以减少过度拟合问题。如果我们有非常多的特征，我们通过学习得到的假设可能能够非常好地适应训练集（代价函数可能几乎为0），但是可能出现不能推广到新的数据的情况，也就是说不能泛化。

下图是一个回归问题的例子：

        第一个模型是一个线性模型，欠拟合，不能很好地适应我们的训练集；第三个模型是一个四次方的模型，过于强调拟合原始数据，而丢失了算法的本质：预测新数据，是过拟合；而第二个模型似乎最合适。分类问题中也存在这样的问题：

就以多项式理解，x 的次数越高，拟合的越好，但相应的预测的能力就可能变差。

问题是，如果我们发现了过拟合问题，应该如何处理？

1. 丢弃一些不能帮助我们正确预测的特征。可以是手工选择保留哪些特征，或者使用一些模型选择的算法来帮忙

2. 正则化。 保留所有的特征，但是减少参数的大

二、代价函数

        我们可以从之前的假设中看出，正是那些高次项导致了过拟合的产生，所以如果我们能让这些高次项的系数接近于0的话，我们就能很好的拟合了。 所以我们要做的就是在一定程度上减小这些参数的值，这就是正则化的基本方法。例如，在上图中我们决定要减少和的大小，我们要做的便是修改代价函数，在和设置一点惩罚。这样做的话，我们在尝试最小化代价时也需要将这个惩罚纳入考虑中，并最终导致选择较小一些的和。

        假如我们有非常多的特征，我们并不知道其中哪些特征我们要惩罚，所以我们将对所有的特征进行惩罚，并且让代价函数最优化的软件来选择这些惩罚的程度，这样的结果是得到了一个较为简单的能防止过拟合问题的假设：  

其中又称为正则化参数

注：根据惯例，我们不对进行惩罚。经过正则化处理的模型与原模型的可能对比如下图所示：  

如果选择的正则化参数过大，则会把所有的参数都最小化了，导致模型变成 ，也就是上图中红色直线所示的情况，造成欠拟合。所以对于正则化，我们要取一个合理的的值，这样才能更好的应用正则化。 回顾一下代价函数，为了使用正则化，让我们把这些概念应用到到线性回归和逻辑回归中去，那么我们就可以让它们避免过度拟合了。

三、正则化线性回归

        对于线性回归的求解，我们之前推导了两种学习算法：一种基于梯度下降，一种基于正规方程。正则化线性回归的代价函数为：

如果我们要使用梯度下降法令这个代价函数最小化，因为我们未对进行正则化，所以梯度下降算法将分两种情形：

对上面的算法中 j=1,2,...,n 时的更新式子进行调整可得：

可以看出，正则化线性回归的梯度下降算法的变化在于，每次都在原有算法更新规则的基础上令值减少了一个额外的值。

我们同样也可以利用正规方程来求解正则化线性回归模型，方法如下所示，图中的矩阵尺寸为 (n+1)*(n+1)，n表示特征的个数

 

四、正则化的逻辑回归模型

        针对逻辑回归问题，我们也给代价函数增加一个正则化的表达式，得到代价函数：

Python代码：

import numpy as np

def costReg(theta, X, y, learningRate):
    theta = np.matrix(theta)
    X = np.matrix(X)
    y = np.matrix(y)
    first = np.multiply(-y, np.log(sigmoid(X*theta.T)))
    second = np.multiply((1 - y), np.log(1 - sigmoid(X*theta.T)))
    reg = (learningRate / (2 * len(X))* np.sum(np.power(theta[:,1:theta.shape[1]],2))
    return np.sum(first - second) / (len(X)) + reg

 

要最小化该代价函数，通过求导，得出梯度下降算法为：

注：看上去同线性回归一样，但是要知道假设函数为，所以与线性回归不同