title: 万物皆数
date: 2019-11-25 12:57:00
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本 书 价 值
爱因斯坦说过，宇宙最不可理解之处，就是它居然是可以被理解的。本书将告诉你，那些看似不可理解的万物背后，隐藏着一把开启理解之门的钥匙。这把钥匙，就是数学！
本书将引领我们穿越回史前时代、四大文明古国、欧洲中世纪与文艺复兴时期，也会带领我们漫步于巴黎卢浮宫与发现宫。作者巧妙地运用历史学的方法，构建了无数历史或现今的场景，将数学从亭台楼阁之上带入我们的日常生活，将数学之美化为一篇篇优美的文字，娓娓道来。
阅 读 收 获
了解数学发展史，发现隐藏在万物中的数学之美
觉察生活与数学的关系，摘掉数学无用的标签
让害怕数学的人爱上数学，让热爱的人更加热爱
金 句 精 选
1.数学是一门赋予不同事物以同样名字的艺术。P109
2.“除非”对于数学来说是不美的，“例外”让人心痛。P177
3.一则美丽的定理是一条朴素的定理，没有冗余的边角料，没有随意的例外，也没有毫无用处的差别。P177
4.宇宙最不可理解之处，就是它居然是可以被理解的。P214
5.微积分不仅仅是一个单纯的工具，它还展现了论证的乐趣和令人不可思议的美感。P222
6.对于一个学科，我们了解的越多，就会明白我们不了解的也越多。P289
7.如果有一天我们变得全知全能，那么作为结果，我们一定会从快乐跌入失望的深渊，因为再也不能得到任何发现新事物的乐趣。P289
8.在数学中，总有一个虽然简单，但是却永不干涸的快乐与惊喜的源泉。P291
注：上述页码为句子在实体书中所在的页码。
作 者 简 介
[法]米卡埃尔·洛奈
概率学博士。2015年以来，洛奈参与了大量的、针对公众的数学推广活动，是法国“文化与数学游戏沙龙”的成员。他在网络平台策划的数学节目拥有近30万订阅，频道节目观看量近2000万。
精 华 解 读
以下内容为《万物皆数》一书精华解读，供广大书友们学习参考，未经允许不可用作商业用途。
目 录
一、数字的解放
二、几何的进击
三、代数的壮大
四、数学语言的独立与发展
正 文
爱因斯坦用E=mc²描述宇宙而引发的慨叹“宇宙最不可理解之处，就是它居然是可以被理解的”。几何学上的迷人图形曼德博集合，它的轮廓是一个几何花边，具有不可思议的和谐性和精确性。人机大战中，阿尔法狗的第37手被人类认为是“坏子”的棋，最终指向了胜利的结局！
这一切看似神秘力量操控的事件背后，都有着扎扎实实的数学理论作为支撑。数学，这门同时寻找真相和美的学科，它是如何一步步走到今天的，下面我们将为你阐述它的历史。
一、数字的解放
【历史脉络】
生活在美索不达米亚平原上的人发明了黏土筹码系统，公元前4千纪（指公元前3001年到公元前4000年之间的时间）结束时，乌鲁克城中任何类型的合同都必须由球状信封通过密封黏土筹码的方式建立。随着楔形文字被发明出来，最初的数学符号也开始逐渐转变。这影响了临近的埃及人，从公元前3千纪初期开始，他们在楔形文字的基础上发展出属于自己文明的计数系统。
公元前2000年左右，古巴比伦人（生活在美索不达米亚平原上的人）雄霸西北地区，包括美索不达米亚平原，他们继续发展楔形文字的计数系统，多亏了它，古巴比伦学者创造出无与伦比的先进知识：加、减、乘、除、平方根、乘方、倒数，他们还发展出了运算表格，列出方程并给出巧妙的解法。
在古巴比伦人之后，玛雅人也发明了一种20进制的位置计数系统。然后，古印度人发明了0123456789的十进制计数方法。这种记数法随后被阿拉伯学者重新使用，在中世纪末期传入欧洲，被称为“阿拉伯数字”。在公元9世纪，波斯数学家花拉子米撰写了著名的《印度数学算数》，通过这本书，阿拉伯数字逐渐被推广到了全世界。
【意义】
从“呆萌”的黏土筹码系统，到楔形文字的符号，数学从现实中被抽离出来，人们能够从更高层次观察数字。从此，数学具有了抽象性，而这正是数学的属性：数学是格外抽象的一门科学。被数学研究的对象从此不再具有物理属性。它们不是物质，它们不是由原子构成的，它们只是一些想法。然而，这些想法对于认识这个世界来说，却是相当有效的！
二、几何的进击
【历史脉络】
数字被发明了出来，数学在不久之后也将面临学科分支的出现。在所有分支之中，几何学迅速地脱颖而出，吸引古典时期最伟大的先哲们的注意力。同时，公元前11世纪，中国文明也已经具有了数学知识，与古巴比伦文明、古埃及文明和古希腊文明恰好同时。
在进入伟大的思想家们的视野之前，几何学是在“田间地头”赢得自己的声望的。它首先是一门测量地表的科学，最初的土地测量员们成为家门口的数学家。在古埃及，绳索测量员在田间打下木桩，展开长绳，测量土地边界。在古希腊，皇家测量员通过走路测量距离的长短。亚历山大大帝曾在出征亚洲的时候，就带上了几个皇家测量员来测量他的帝国版图。
值得一提的是，公元前2世纪，在埃及，来自古希腊的学者埃拉托斯特尼就通过骆驼成功测量了地球的周长。怎么做到的？他先让步伐稳健的骆驼测量了赛因市与亚历山大港之间的距离，然后通过判定其太阳光线倾斜角度的差别，断定两个城市的距离就是地球周长的1/50。最后测算出的地球周长误差仅有2%！
公元前6世纪起，古希腊世界进入了一个前所未有的、文化与科学的沸腾阶段。古希腊数学的出现，并不是在某一个固定的区域，而是在一个幅员辽阔的地理和文化区域中形成的。
古希腊文明与其他古老文明的接触会产生传承和自身多样性的交融，这是古希腊数学革命的原动力之一，它是对古巴比伦和古印度的数学知识的吸收和扩展。古希腊人认为，几何学因其严谨性和能够训练头脑而尊贵。相传，在柏拉图学院的正门上，刻着这样的座右铭：“不习几何者不得入内。”
公元前7世纪末期，古希腊历史上第一位伟大的数学家泰勒斯降生了。关于他的故事很多，但大多是他的某些过分虔诚的门徒创作的传奇。据说，他测量出了大金字塔的高度，他所用到的几何方法是非常真实的，这种方法衍生出了一种特殊的情况，其具有的属性使我们今天称其为“泰勒斯定理”：如果一个三角形的三个顶点落在一个圆周之上，并且其中一条边穿过圆心，那么这个三角形必然是直角三角形。
他的另一条数学结论，看起来更显而易见：一个圆的任意直径将该圆分为等面积的两部分。然而，这种陈述是了不起的，并不是因为它的内容，而是它的表达方式。泰勒斯敢说，所有的圆都这样，毫无例外！而同样是表达这一规则，古巴比伦人、古埃及人、古代中国人都只是举了一个个例。
意义：通过这样的操作，泰勒斯明确地给几何图形赋予了抽象的数学对象的地位。这种思维阶段正类似于美索不达米亚人首次将数字从被计数的对象身上独立出来。从此以后，数学真理可以用简洁又概括的方式表述，无论对于所包含的哪一种个别情况来说，都是成立的。自此，古希腊人给这些表述起了一个名字，叫作“定理”。
公元前6世纪初期，毕达哥拉斯出生在萨摩斯岛，在青年时期作为学徒游历了古代世界之后，他最终选择了克罗托内城作为定居地。在那里，他于公元前532年开创了毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯定理（勾股定理），人类有史以来最著名的定理之一，就是以他的名字命名的。尽管，我们并不清楚，到底是他还是他的门徒发现了这条定理。
数字π无疑是最著名、最迷人的数学常数，它的小数点展开是无限的：3.14159265358979……这究竟是怎么算出来的呢？我们不得不提到阿基米德，他取得了人类在π计算上的第一个伟大的进步。在阿基米德之前，也有人对圆周产生兴趣，但是他们的研究方法往往缺乏严谨性，在雅赫摩斯的莎草纸上，记载着“化圆为方”问题的近似解决方案，认为π的数值应该约等于3.16。
而阿基米德使用规则的多边形来外接（内切）圆周，得到π值的一个范围：3.1408~3.1428之间，估算值误差在0.03%左右。他的方法之所以强大，不仅是因为他得到了较为精确的结果，还因为这个过程可以不断地持续下去。只要我们持续地分割正多边形，就会得到越来越精确的区间。因此，从理论上说，我们能够获得想要的任意精度的π值，只要做好面对大量计算的心理准备和勇气就行。
为了避免一个“定理”频繁地出现意外，“证明”将是古希腊的数学家们需要攻坚的主战场之一。如果没有相应的验证过程，那么一个“定理”则不能被承认。当然，这一切都离不开欧几里得和他的《几何原本》。欧几里得的《几何原本》被毫无争议地认为是数学史上最伟大的著作之一，15世纪末期古登堡使用新印刷术印刷成书的第一批书籍之一，是今天再版次数第二多的著作，仅次于《圣经》。
《几何原本》之所以那么伟大，是因为它最先采用了公理化的方法。在书中，欧几里得提出了5个公理，在这之后，是长长一串经过证明的、无可争议的定理。对于所有这些定理的证明，欧几里得使用的不过是上述的5个公理或者从这5个公理出发证明得出的结论。
当然，关于公理的表述还带来另外一个问题，即“定义”的问题。在《几何原本》中，定义是先行于公理的。例如，先定义点：点是没有部分的东西（这个表述真的很奇怪，欧几里得想说的其实是，点是可能存在的几何图形中最小的一个）。才有公理：任意两点能够定义一条线段。
然而，随着理论的建构和扩大，数学家们新的眼中钉又出现了，那就是悖论。所谓悖论，就是一种似假非真、似是而非、自相矛盾的命题。它是一种显然不能被解决的矛盾。一个看上去绝对正确的结论，结果却能够推导出一个完全荒谬的结论。
想象一下，你列出了一个公理的清单，这些公理在你看来是不容置疑的，然而你却从这些公理出发推导出了一系列明显是错误的定理！比如欧布里德提出的“说谎者悖论”。又比如芝诺的“阿喀琉斯追乌龟”。
阿基米德晚年，即公元前212年，罗马军队攻占锡拉库萨城，75岁高龄的他获得了赦免，但是当一位士兵从他身边走过的时候，正在地上作图的阿基米德漫不经心地说：“别弄乱了我的圆！”这位士兵恼羞成怒，一剑刺穿了他的身体。
此后700年的漫长岁月中，罗马帝国从未出现过一位能与阿基米德齐名的数学大师。古典时代即将以数学学科的衰落而告终。不久之后，罗马帝国将控制整个地中海沿岸，古希腊血统将在这个新的文化中被稀释。
然而，一个叫作亚历山大港的城市，将在接下来的若干个世纪中延续古希腊数学家们的精神。那里矗立着一座巨大的图书馆，即亚历山大图书馆。据说，为了扩充图书馆的馆藏，国王托勒密一世要求一切停靠在亚历山大港的船只，都必须上交船上的所有书籍。这些书籍将被复制，最后还给商船的是复制版，而原始的版本则直接进入亚历山大图书馆的馆藏。
托勒密一世的策略确实是人才引流的好方法，在亚历山大港欧几里得撰写了《几何原本》的大部分原稿；丢番图写下了一本著名的关于方程的书，如今我们称之为“丢番图方程”；另一位克罗狄斯·托勒密写出了他著名的《天文学大成》，即地心说……可惜，到了公元4世纪的时候，基督教的兴起为亚历山大图书馆带来了灭顶之灾。
亚历山大港衰落的数百年后，公元832年，巴格达图书馆成立“智慧之家”，它独立的运转模式让人联想起了亚历山大港的博物馆。在这一时期，发展最为迅速和成熟的学科之一是三角学，它研究的问题是：如何在测量尽可能少的距离的前提下，知道关于某个三角形的全部信息？
14世纪的阿尔·卡西建立了著名的三角函数表（不同角度三角形的余弦值、正弦值、正切值），在《算数之钥》中他还描述了一个从毕达哥拉斯定理推导出来的结论，通过巧妙地运用余弦，最终创造出一条对所有三角形都绝对适用的定理。直到今天，卡西定理依然是经常使用的三角学结论之一。
【意义】
正是出于对这些“初始定义”和“公理“的绝对笃信，人们在此基础上发展出了整个几何学（在数学王国中，几何学是当之无愧的女王，直到文艺复兴时期，它的地位才被代数语言所取代）。
更准确地说，我们整个现代数学学科正是建立在同样的模型基础之上的。定义—公理—定理—证明：这条由欧几里得开辟的道路将成为他所有的后继者必须要追寻的路径。
三、代数的壮大
【历史脉络】
在千百年漫长的岁月中，印度人一直在孜孜不倦地发展数学，然而我们对它知之甚少，因为他们的知识都是口口相传的，禁止以书面形式记录下来。直到公元5世纪，古印度人发展了数学，大量来自印度的数学概念涌入了西方文化当中，其中最伟大的印度学者之一，就是婆罗摩笈多。公元628年，婆罗摩笈多发表了他最重要的著作：《婆罗摩修正体系》，书中出现了第一个对于数字零和负数，以及它们的算数性质的完整描述。
波斯数学家穆罕默德·伊本·花拉子米，出生在公元8世纪80年代，前面提到他将阿拉伯数字介绍给欧洲，其实，他的贡献远不止于此。他撰写的另一本具有革命性内容的书籍，确保了他跻身人类历史上最伟大的数学家的行列，可以与阿基米德和婆罗摩笈多比肩。
这本书是阿拉伯帝国的哈里发马蒙下令花拉子米撰写的，他希望能够给他的人民提供一本数学指南，每个人都能够通过学习这本书的内容来解决日常生活中可能出现的问题。花拉子米给出的答卷出乎意料，在这本《还原与对消计算概要》中，花拉子米开创了代数学，他以一种独立于问题本身的抽象方法，详细地介绍了解决问题的过程。
为了更好地理解这种方法，让我们先来看看以下三个问题：
1.一块矩形田地，宽5个单位，面积为30。这块地的长度是多少？
2.一位30岁的男性，年龄是他儿子的5倍。他儿子今年几岁？
3.一位商人买了5卷相同的布，总质量是30千克。每一卷布的质量是多少？
以上3个问题，答案都是6，并且背后隐藏的数学过程是一样的。在这3种情况下，答案只需要做一个除法就能得出：30÷5＝6。花拉子米做的第一步，就是将这些问题的“现实外衣”剥去，从中提炼出纯粹的数学问题：我们寻找一个数字，这个数字乘以5等于30。几个世纪之后，在欧洲，这些谜题终于有了正式的名称，叫作方程式。
花拉子米的方法完美地满足了数学发展的整体动态，即趋向于抽象性和普遍性。很长一段时间以来，数学研究的对象已经从它们所代表的现实事物中脱离出来并独立存在了。因为花拉子米的研究，我们有了充分的依据，将具体的对象从那些被认为可以解决的问题中抽离出来。
公元1219年，成吉思汗率领的蒙古铁骑冲进了花拉子米的故乡花刺子模。1258年，蒙古人在成吉思汗之孙旭烈兀的带领下，兵临巴格达的城门之下。为了在帝国的重重崩溃下不使研究中断，阿拉伯世界的科学组织开始分散到世界各地。
一直到16世纪，阿拉伯世界还在创造着领先世界的科学研究，但是很快，历史之风转了向，欧洲已经做好了准备，即将接过数学的圣火。中世纪时期，数学并没有在欧洲蓬勃发展，然而，也有个别的例外。
中世纪欧洲最伟大的数学家，毫无疑问应该是意大利的斐波那契。让斐波那契在接下来的几个世纪中声名远扬的，是一组特殊的数列，即一系列可以无限延长的数字序列，有趣的是，这个数列的增长率在无限层面上与黄金分割率几乎一致。
对于数列的研究，同样也让人们对芝诺悖论有了新的认识，尤其是阿喀琉斯和乌龟赛跑的问题：乌龟领先阿喀琉斯100米起跑，但阿喀琉斯的速度是乌龟的两倍。在这种情况下，芝诺的悖论似乎表明，尽管乌龟的速度更慢，但是它永远不可能被阿喀琉斯超越。这个结论的得出，来自于对比赛过程的无限切割，随着时间的推移乌龟将领先阿喀琉斯100、50、25、12.5、6.25、3.125、1.5625……
没错，这个数列的长度是无限的，这也就是为什么人们可以错误地推断说阿喀琉斯永远也追不上乌龟。然而，如果我们将这个无穷的数列所有的数值都加在一起，就会发现结果是200，并不是一个无限的数字，阿喀琉斯在起跑200米之后，就会追上乌龟。
斐波那契播撒下的种子终于开花结果，意大利涌现出了一批新一代的数学家。这一代数学家将继续古代阿拉伯学者们开创的代数学研究，也正是他们最终征服了三次方程，虽然背后的故事以数学史上最荒诞、最离奇的闹剧结局：
公元16世纪初期，希皮奥内·德尔·费罗是第一个发现三次方程解析式的人。为了成为最优秀的教授，并且留在最好的教职位置，他费尽九牛二虎之力，试图让他的竞争者们不要窥探到三次方程解法的秘密。他只把研究结论向一小撮弟子公开了，这些虔诚的弟子们在数学家去世后保守着秘密。
其中，有一位名叫安东尼奥·玛利亚·德尔·费奥雷的压抑不住自己的天性，向意大利境内的数学家发出挑战，以卖弄他拥有的秘密。1535年，威尼斯数学家尼科洛·塔尔塔利亚也接到了“战书“，他面对德尔·费奥雷提出的三次方程问题绞尽脑汁，竟然最终发现了三次方程的解析式，然而，他同样拒绝向公众公布他发现的秘密。
4年后，这场混战传到了米兰数学家吉罗拉莫·卡尔达诺那里，在他的软硬兼施之下，套取到了解析式（缺了证明过程），并向塔尔塔利亚发誓永不发表这种方法。在接下来的几年里，卡尔达诺专心致志地攻坚这个问题，最终成功了，他的学生之一卢多维科·费拉里甚至归纳出了四次方程的解法！
1542年，卡尔达诺与费拉里偶然间拜访了德尔·费罗的另一位学生，意外发现德尔·费罗才是第一个解开三次方程的人。于是，卡尔达诺认为，自己发过的誓言应该是无效的，他在1547年发表了《大术》，向世人公开了三次方程的解法。
另一方面，塔尔塔利亚认为卡尔达诺剽窃了自己的研究成果。可惜，卡尔达诺已经被公认为第一个征服三次方程的人，直到今天为止，三次方程的解析式依然以卡尔达诺命名，被称为“卡当公式”。
在卡尔达诺的证明过程中，包括诸如“-15的平方根的情况”。这在婆罗摩笈多发明的十进制数学符号下是绝对不可能实现的，因为正数的平方是正数，负数的平方也是正数！这吸引了另一位来自博洛尼亚的数学家拉斐尔·邦贝利，他总结整理了《大术》中的发现，并且介绍了这些新型数字，他称之为“复杂的数”。
邦贝利所做的事情，和婆罗摩笈多当年“创造”出负数时的情况一样。他在书中详细介绍了“复杂的数”的所有计算规则，尤其指出其平方是负数。后来，17世纪的笛卡尔赋予了它沿用至今的新名字：虚数。
然而，虚数不像负数，它们与我们的直觉相悖，负数至少能通过债务被理解，虚数呢？它还要再等上漫长的两个世纪，才会最终被数学界所接受，在19世纪，先验的认为“经典意义上的数字才是数字”的想法被摒弃了。
【意义】
负数的发现与虚数的发现有着相似的意义，它们都揭示了数学中简洁的美感。我们的语言，根据某件事情的“是”或“非”而使用不同的结构，比如肯定句式“我曾经在火星上漫步过”，否定则是“我没有在火星上漫步过”。而数学为了将它们归并到一个同样的句式之中，则会删除这些差异，写作“我在火星上漫步了若干次”，这个“若干”可能是数字零。
正如庞加莱写的那样：“数学是一门赋予不同事物以同样名字的艺术。”婆罗摩笈多在数学史上的伟大之处在于，他统一了正数和负数，多亏了负数的出现，使得加法和减法成为同一种运算的两个方面，例“增加一个负数等于减去一个正数”，我们赋予了两种不同的事物以同样的名字。
如何辨别一个理论是否值得注意，有两条主要标准，其一是有用，其二是美。有用很好理解，美是什么，似乎模糊而不够客观，虚数是一个完美的例证。根据花拉子米的方法，二次方程很有可能有两个解，也有可能只有一个唯一解，或者根本没有解。
但是，有了虚数，方程的解就被大大简化了：所有的二次方程都有两个解！所谓“没有解”的二次方程，其实有两个虚数解。更妙的是，所有的三次方程都有了三个解，所有的四次方程都有了四个解，以此类推，规则可以被总结为：一个方程的解的数量等于它的次数。
所谓数学之美可以有多种形式，最核心的一点在于，它能够在复杂的研究对象和简洁的表达方式之间建立起令人目眩神迷的联系。一则美丽的定理是一条朴素的定理，没有冗余的边角料，没有随意的例外，也没有毫无用处的差别。
四、数学语言的独立与发展
【历史脉络】
16世纪的欧洲是热血沸腾的。文艺复兴运动在席卷了意大利之后，开始向整个欧洲大陆蔓延。借着文艺复兴的“春风”，数学终于在法国“登陆”。1591年，韦达出版了他最著名的著作，即《分析方法入门》，这是另一部里程碑式的著作。
韦达是一种新型代数学的主要引导者，而这种新的代数学在未来的几十年内，将产生出一种全新的数学语言。让我们将时钟往回拨，古代的学者们其实并没有一种特殊的语言来撰写数学知识。
在长达5000年的岁月中，从古代美索不达米亚人到古希腊人、古代中国人、古代印度人，再到古代阿拉伯人，人们书写数学公式的时候，使用的一直是日常生活中的语言。这种方式不但写起来非常冗长，而且还因为受限于语言而具有一定的歧义，随着数学推理和论证的过程变得越来越复杂，这种写作模式渐渐地显露了弊端。为了解决这个变得日益复杂的问题，数学家们逐渐地开始简化代数语言。
这个过程开始于中世纪晚期的西方伊斯兰世界，不过，在15世纪至16世纪的欧洲，这个运动得到了格外充分的开展。韦达是这场运动中的催化剂，他在《分析方法入门》中发起了一项庞大的“代数现代化”计划，笛卡尔在这个基础上优化了数学的表达方式，成为我们至今仍在使用的方法：用字母表的前几个字母（a,b,c……）表示已知数，用最后几个字母（x,y,z)表示未知数。
从此之后，数学家们开始有意识地列举各种情况，并建立处理字母化方程的相关规则，很快代数学从几何学中脱离出来，成为一门独立的学科。接着，由于笛卡尔坐标的出现，字母运算将颠覆整个数学领域的权重关系，很快，几何学就会发现自己需要大量依靠代数学的论证了。
谈到笛卡尔坐标，值得一提的是，数学家在对某些数列进行性质分析的过程中，利用笛卡尔坐标将其用几何化的规则表示了出来，最终得到了一个美妙绝伦的图形。如下图。法国数学家本华·曼德博是第一批深入研究这个图形几何性质的学者之一，于是后来他的数学家同事们就给这个图形命名为“曼德博集合”。
自从代数语言简化后，它逐渐成为一门解释世界的科学语言，爱因斯坦用公式E=mc²，展示了物体质量与能量之间的等价关系。这个通常被认为是关于我们生存的这个宇宙最迷人、最深刻的原理的代数公式，仅由5个符号构成，引发了爱因斯坦的慨叹：“宇宙最不可理解之处，就是它居然是可以被理解的。”
1623年伽利略在其《试金者》一书中记录了数学与物理学之间日益紧密的关系。在这一时期，最显著的成就是牛顿发现的万有引力定律，它计算出了哈雷彗星的回归周期。万有引力的发展是第一批需要数学创新的物理课题之一。
牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中，走上了“无限细致的细分”这条研究道路，随后，德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨厘清了在牛顿那里尚不太清楚的问题。通过牛顿和莱布尼茨的探索，“微积分”诞生了。
不过，关于微积分的“著作权”问题，牛顿和莱布尼茨打了好几年口水仗。牛顿认为，他才是微积分第一人，因为他从1669年起就开始研究这个问题，可惜的是，他在发表成果方面，比莱布尼茨足足晚了3年，莱布尼茨在1684年发表了自己对于微积分的研究。
当然，一个理论在刚刚被建立起来的时候往往是不完善的，在牛顿和莱布尼茨的研究中，还缺少很多关于严谨性和论述的关键点。1748年，意大利数学家玛丽亚·加埃塔纳·阿涅西出版了《分析讲义》，算是对于微积分这门年轻的学科做的首次完整完善。一个世纪以后，德国的数学家波恩哈德·黎曼完成了最后的“查漏补缺”，从此，名为“微积分”的新大陆再无危险可言。
与微积分一样，概率学是另一门诞生于17世纪的数学分支。从史前时代起，古代的人们已经开始想方设法地自己创造出随机效果，箭卜术是非常古老的例子之一，对于想要问神的问题，将可能的各种答案写在箭身之上，然后把这些箭放在箭筒之中，摇晃箭筒并且随机抽取出一根：这就是神的回答。慢慢地，抽签随机的机制流传开来，在古代的雅典，人们用这种方法选出参加众议院五百人会议的市民。
这些能够“传递神的旨意”的随机游戏，最终吸引了一些数学家的注意力。在巴黎科学会上，数学爱好者安托万·贡博提出一个问题：试想一下，有两个玩家在玩随机游戏并且押了钱，先赢得3局者胜出。当玩到2:1的时候，游戏被中断了，试问这两位玩家该如何分割赌桌上的赌注？
在当日与会的所有科学家中，法国学者皮埃尔·德·费马和布莱兹·帕斯卡产生了特别的兴趣，他们书信往来讨论这个问题，最终得出了结论：第一位玩家应该获得四分之三的赌注，第二位玩家应该获得四分之一的赌注。即玩家1有75%的概率获胜，而玩家2只有25%的概率获胜。两位法国学者的推论过程非常富有成效，瑞士数学家雅各布·伯努利紧跟他们的脚步，在17世纪尾声的时候撰写了《猜度术》，分析了经典博弈游戏，并且首度提出了概率论中的基本原则之一：大数定律。这条定律确定了，在随机试验中，我们重复的次数越多，结果的平均值就越明显，并且趋近于一个极限值。
1642年，布莱兹·帕斯卡设计出人类历史上第一台计算器；1834年，查尔斯·巴贝奇的脑海中忽然出现一个疯狂的想法，借鉴了纺织机打孔卡的原理，并制造了历史上第一台计算机。打孔卡上面有一系列的洞，计算器能够探测到这些洞的存在，然后按照洞代表的指示一步步地进行预订的计算。
于是，计算器的使用者必须在使用它之前，就先把想要进行的运转转化为打孔卡，然后插入计算器进行计算。这项“从运算到打孔卡”的翻译工作最终由英国数学家阿达·洛芙莱斯实现的，她编写了一段复杂的代码用来计算伯努利数列，这种算法在微积分的计算方面极其有用。这段代码通常被认为是世界上第一个计算机程序，而洛芙莱斯也被认为是人类历史上第一个程序员。
1936年，英国数学家艾伦·图灵发表了一篇文章，首次提出了一种纯粹的想象产物：图灵机，以及这个机器能够进行何种基本运算，将这些运算组合在一起能够实现什么样的结果。
其中，人们为了获得某个结果而给计算机下的一系列指令被称为“算法”，这个称呼来自花拉子米名字的拉丁语变形。正如花拉子米不需要向巴格达的市民们解释基本的定理，他们就能不费吹灰之力地解决具体问题一样，我们也不需要跟一台电子计算机解释理论，它只需要人们告诉它进行怎样的计算，以怎样的顺序进行计算。
2016年，电子计算机阿尔法狗击败围棋选手李世石，它那极富创意的第37手举世震惊。作为只会忠实地执行人类编写的算法的电脑，怎么可能会有创造性呢？这个问题的答案，在于一种新型的算法：学习型算法。
在训练的过程中，阿尔法狗花了几千个小时和自己下棋，自己探索出了所有能够赢得胜利的落子。但是，围棋落子的可能性何止成千上万种，想要全部计算出来是不可能的，哪怕对一台电脑来说也是如此。为了解决这个问题，阿尔法狗采用了抽签的方法，随机抽取它要探索的路径，然后使用了概率论。
也就是说，它之所以具有直觉和独创性的一部分原因，并不是系统性地进行思考，而是根据概率来权衡可能的未来。
19世纪末期，数学大陆不可避免地开始分裂漂移，数学世界正在经历蜕变，它正在成为一门范围过于广阔的学科，以至于任何一位数学家都不可能样样精通。作为回应，研究者们前所未有地主动增加彼此合作的机会，试图将自己的学科打造成一块不可分割的整体。带着这种推动力，数学迈入了20世纪。
今天，全世界的数学家早已成千上万，每一天都有几十篇新论文发表，一些统计显示，目前在世界范围内，数学界每4年将会产生大约100万条新的定理！
【意义】
从人类诞生之初到现在的漫长历史岁月中，数学经常被用来研究和理解这个世界，但是数学模型始终建立在真实的现实，而不是某种由现实创造出来的规则之上。然而，17世纪的学者们认识到：自然根据其内在规则运转，自然被精确的数学法则控制，自然的规则可以通过重复试验的方式大白于天下。到今天，没有任何一条严谨的物理学理论敢用除了数学语言之外的其他语言进行表述。
结 语
让我们回顾整个数学的发展史，不难发现数学的发展趋向于抽象性和普遍性。
最开始，美索不达米亚人（苏美尔人与巴比伦人的共同努力）发明数字符号，使数学从被计量的物体中抽象出来；欧几里得总结公理和定理的研究方法，使数学拥有了普遍性；花拉子米开创代数学又使数学从问题中抽象出来；再到韦达发起的“代数现代化”运动，数学又从日常生活的语言中抽象出来，成为一种可以通过诸如爱因斯坦“E=mc²”的公式描述世界的语言。通过抽象性和普遍性，它逐渐地拥有了简洁的力量。
延 伸 阅 读
如果说数学可以培养一个人严谨、简洁的气质，那么还有哪些气质也是可以培养的？
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