离散数学期末复习(3):关系

目录

9.1 Relations and Their Properties (关系及其性质)

1.二元关系(binary relation)

(1)基本概念:

(2)自反(reflexive) 

(3)对称(symmetric)

 (4)反对称(antisymmetric)

​编辑(5)传递性(transitive)

2.复合关系

9.3 Representing Relations (关系的表示)

 1.矩阵如何表示关系

 2.矩阵运算

(1)并集和交集

 (2)矩阵复合

​编辑 (3)复合矩阵的幂

3.图是怎么表示关系的

(1)有向图

 (2)关系

9.4 Closures of Relations (关系的闭包)

1.定义:

​编辑 2.自反闭包

 3.对称闭包

 4.路径(path)

 5.传递闭包

9.5 Equivalence Relations (等价关系)

1.等价关系

 2.字符串

3.等价关系的判断(从传递性,对称性,自反性三个方面考虑)

(1)同余模

(2)除法

4.等价类(Equivalence Classes)

(1)同余类(Congruence Classes)

 (2)集合A的关系等价类的并集就是他自己

(3)集合的划分

9.6 Partial Orderings (偏序)

1.偏序的定义:

2.偏序集

 3.字典排列

4.哈塞图(Hasse Diagrams)

 (2)最大元素(maximal element(s))和最小元素(minimal element(s))

(3)最大最小元

(4)上下界

 (5)最小上下界

 (6)格(lattice)

 (7)拓扑排序(Topological Sorting)



9.1 Relations and Their Properties (关系及其性质)

1.二元关系(binary relation)

(1)基本概念:

一个二元关系R是集合A到集合B的一个子集

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 集合A上的二进制关系就是A×A的子集和集合A到A的关系

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 那么集合A上面有多少关系呢?

因为A×A有n^2个元素,所以A×A有2^n^2个子集

(2)自反(reflexive) 

设R是集合A上的一个关系, 如果对A中的每一个元素x, 均有(x,   x) ∈ R, 则称R是自反关系,即 R是自反的 ⇔  ∀x(x∈A →x, x) ∈R).

例如:正整数集合上的整除关系 (正整数总能被自己整除), 相等关系等都是自反的关系。整数集合上的大于关系, 小于关系等都不是自反的关系。

下面三个是自反关系的例子

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下面是三种情况不是自反

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(3)对称(symmetric)


设R是集合A上的一个关系, 如果对A中的每一个元素x和元素y,  如有(x,   y) ∈ R,必有(y, x)∈R, 则称R是对称关系,即 R是对称的 ⇔  ∀x∀y (x∈A ∧ y∈A ∧(x, y) ∈ R →  (y,  x) ∉ R) 

例如:整数集合上的等于关系,任意集合上的全域关系, 同学关系,朋友关系等都是对称的。

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 (4)反对称(antisymmetric)

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(5)传递性(transitive)

设R是集合A上的一个关系, x、y、z是A中的元素,  若(x,   y) ∈ R 和 (y, z) ∈ R,

必有(x , z) ∈ R,    则称R是传递关系。

例如:实数集合上的大于关系, 小于关系都是传递关系,同学关系、朋友关系等不一定是传递的。

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2.复合关系

R1是集合A到集合B的关系

R2是集合B到集合C的关系

R2和R1的复合关系 R2\bigcircR1 = 集合A到集合C的关系(有点传递的味道)

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关系的幂(用归纳法)

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 传递关系的幂是该关系的子集

9.3 Representing Relations (关系的表示)

 1.矩阵如何表示关系

(1)有限集之间的关系可以用零1矩阵来表示

(2)A = {a1,a2,a3,...}

B = {b1,b2,b3,...}

两个集合之间的关系R何以用来表示

离散数学期末复习(3):关系_第13张图片离散数学期末复习(3):关系_第14张图片

 (3)如果R是自反关系,那矩阵里主对角线上的元素都是1

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 (4)如果R表示对称关系,那么MR是对称矩阵

          如果R表示反对称关系,那么矩阵里i≠j时,mij = 0或者mji = 0

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 2.矩阵运算

(1)并集和交集

并集就是两个矩阵相同位置上的元素按照真值表进行析取(有至少一个1为1,同0为0)

交集就是两个矩阵相同位置上的元素按照真值表进行合取(有至少一个0为0,同1为1)

 

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 (2)矩阵复合

其实就是两个矩阵相乘(注意矩阵乘法的前提)

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离散数学期末复习(3):关系_第21张图片 (3)复合矩阵的幂

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3.图是怎么表示关系的

(1)有向图

 一个有向图由一组顶点V(点,vertices)组成,以及一组被称为E, (边, edge)的有序元素对组成

顶点a称为边(a,b)的始点,顶点b称为该边的终点;边(a,a)称为环

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 (2)关系

自反性:就是一个环绕着一个点

对称性:如果边(x, y)存在,那么(y, x)必须存在,必须存在双向边

反对称性:如果边(x, y)(x≠y)存在,那么边(y, x)不存在,只存在单项边

传递性:如果边(x,y)和(y, z)都存在,那么边(x, z)必须存在

如果条件(边(x,y)和(y, z))里面少了一条边,而且结果(边(x, y))也不存在,也就是说只有一条单向边(a指向b,但b不指向任何点),这种情况也满足传递性

在一幅图里面,如果找到一组或一条边不符合上面的性质,那这个图就没有对应的性质

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9.4 Closures of Relations (关系的闭包)

1.定义:

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 2.自反闭包

设 R = {(a, b) | a < b}是自然数集合上的一个关系

R的自反闭包为

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 3.对称闭包

R的对称闭包

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 4.路径(path)

在有向图中,从a到b的路径是一组边的序列

比如(a,x1), (x1, x2), (x2, x3)等等

路径的长度就是路径的边的总数

(1)边集为空时,路径长度为0

(2)长度n-1,起点和重点都在同一位置的路径被称为圈

路径和边的关系:

(1)有向图中的一条路径可以多次通过一个顶点

(2)有向图中的一条边可以在一条路径中出现不止一次

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 5.传递闭包

(1)连通关系

连通关系R*由成对的路径(a,b)组成,指的是从a到b包含的n种走法,每种走法的路径大小至少为1.

Rn是路径(a,b)的集合,指的是从a到b的一条长度为n的路径

(2)传递闭包 = 连通关系R*

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传递闭包的例子 

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 用零1矩阵来表示传递闭包

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9.5 Equivalence Relations (等价关系)

1.等价关系

如果一个集合上的关系是自反的、对称的、传递的,则称为等价关系

集合上的元素等价可以写成

 2.字符串

I(x)表示x 的字符串长度,当集合上的两个元素的字符串长度相等的时候(I(a) = I(b)),我们称a和b之间存在关系,写成aRb

自反性:I(a) = I(a),比如aRa

对称性:aRb,如果I(a) = I(b)成立,I(b) = I(a)也成立,我们可以得出bRa

传递性:假设有aRb和bRc。由于(a)=(b)和(a)=(c)都成立,我们可以得出aRc

3.等价关系的判断(从传递性,对称性,自反性三个方面考虑)

(1)同余模

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 当a-b是m的倍数时,我们可以得出

 离散数学期末复习(3):关系_第41张图片

(2)除法

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4.等价类(Equivalence Classes

与A的元素a相关的所有元素的集合称为a的等价类,在关系R上的等价类写成

集合里两个元素等价可以表示成

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(1)同余类(Congruence Classes

一个整数a模m的同余类表示为

 比如:

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 (2)集合A的关系等价类的并集就是他自己

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(3)集合的划分

把集合分割成一块一块的

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例子:

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 集合划分的等价类

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9.6 Partial Orderings (偏序)

R是非空集合A上的关系,如果R是自反的,反对称的,和传递的,则称R是A上的偏序关系。(和等价关系的区分:等价关系有对称性,没有反对称;偏序有反对称,没有对称)

1.偏序的定义:

设R是集合A上的一个二元关系,若R满足:
Ⅰ 自反性:对任意x∈A,有xRx;
Ⅱ 反对称性(即反对称关系):对任意x,y∈A,若xRy,且yRx,则x=y;
Ⅲ 传递性:对任意x, y,z∈A,若xRy,且yRz,则xRz。 则称R为A上的偏序关系。

例子:证明“大于或等于”关系(≥)是在整数集合上的偏序

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2.偏序集

集合S和偏序R组成偏序集,记作(S, R)

如果a≼b或b≼a,那么当a和b是偏序集(S,≼) 的元素时,那么a和b是可比的。

当a和b是(S,≼) 的元素,但是不满足a≼b和b≼a,那么a和b被称为不可比的。

(这里的≤可以替换成任何数学符号,如果偏序集里面的元素经过该符号运算之后数学逻辑结果存在,那就是可比的,反之不可比。)

例子:

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 如果S的每两个元素都具有可比性,那么S被称为全序集(totally ordered set)或线序集(linearly ordered set),≼被称为全序(total order)或线序。

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一个全序集也被称为链。

偏序集(S,≼)中,≼是全序,并且S每个非空子集都有一个最小元素,那这个偏序集被称为良序集(well-ordered set)

离散数学期末复习(3):关系_第53张图片

 3.字典排列

假设有两个偏序集(A1、≼1)和(A2、≼2),A1⨉A2上的字典排序通过指定(a1, a2)小于(b1, b2),即(a1, a2)≺(b1, b2)、a1≺_{1} b1或a1=b1和a2≺_{2} b2来定义

从两个集合第一个元素开始比较,小的排前面,相等就跳到下一个元素。

这里第三个元素3小于4,所以第一个个偏序集小于第二个, 只要找到大小关系,就不管后面元素的大小关系了

4.哈塞图(Hasse Diagrams)

(1)定义:

哈塞图是一种部分排序的视觉表示,它忽略了自反和传递性质所呈现的边

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a图到b图,消除了自反留下的环;b图到c图,消除了传递产生的边

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 (2)最大元素(maximal element(s))和最小元素(minimal element(s))

最大元素就是画出的哈塞图最顶上(不再延伸出去)的那些元素,最小元素就是最底下的那些元素

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(3)最大最小元

最大元(greatest element):在所有元素里面最大的元素(唯一)

最小元(least element):最小的元素(唯一)

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a图有最小元,但是因为b,c,d地位相等,所以不存在最大元;

b图最大元素和最小元素各有两个,所以没有最大元和最小元 

(4)上下界

设A是S的一个子集

上界(upper bound):u是S里的一个元素,而且S里面的所有元素都≤u, 这个u就是A的上界

下界(lower bound):a是S里的一个元素,而且S里面的所有元素都≥a, 这个a就是A的下界

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 (5)最小上下界

最小上界(least upper bound):在所有上界元素里面最小的元素(唯一)

最大下界(greatest lower bound):在所有下界元素里面最大的元素(唯一)

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{b,d,g}的上界元素有g和h, 因为g小于h,所以g就是最小上界

 (6)格(lattice)

如果一个偏序集每一对元素都有最小上界,也有最大下界,那么这个偏序集称为格

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 (7)拓扑排序(Topological Sorting

假设R是一个偏序,如果每当aRb都有a≼b,则说一个全序≼与偏序R兼容,从偏序构造一个兼容的全序的过程称为拓扑排序。

拓扑排序的步骤:

1.找出偏序集(A, ≤)的最小元素a1

2.把a1删除,接着在偏序(A − {a1 }, )找最小元素a2

3.删除a2,继续在偏序(A − {a1 , a2 }, )找最小元素a3

以此类推,直到A为空

例子:拓扑排序偏序({1, 2, 4, 5, 12, 20}, |)

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全序排列:1 5 2 4 20 12(这里先删除5和先删除2是一样的)

 拓扑排序下面的哈塞图

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