【管理运筹学】背诵手册（六）| 图与网络分析（最大流问题，最小费用最大流问题）
六、图与网络分析
最大流问题
最大流问题的数学规划模型为： max v = f 12 + f 13 { f 12 + f 13 − f 57 − f 67 = 0 f 13 + f 23 = f 34 + f 35 . . . 0 ≤ f i j ≤ c i j \max v=f_{12}+f_{13}\\ \begin{cases} f_{12}+f_{13}-f_{57}-f_{67}=0 \\ f_{13}+f_{23}=f_{34}+f_{35} \\ ...\\ 0\leq f_{ij}\leq c_{ij} \end{cases} maxv=f12+f13⎩ ⎨ ⎧f12+f13−f57−f67=0f13+f23=f34+f35...0≤fij≤cij 第一个约束表示从起点流出的流量等于流入终点的流量；最后一个为容量限制条件；中间的约束为中间点的平衡条件。
满足容量限制条件和平衡条件（起点、终点和中间点）的网络流称为可行流，可行流总是存在的，如零流。
定义网络 G G G 中的一条初等链 μ \mu μ（所有顶点均不相同），方向为从起点到终点，若链上有弧与 μ \mu μ 方向一致，称为前向弧；若有弧与 μ \mu μ 的方向相反，称为后向弧。网络中 f i j = c i j f_{ij}=c_{ij} fij=cij 的弧称为饱和弧， f i j < c i j f_{ij}
若某条链中所有前向弧非饱和，后向弧非零，称其为一条增广链。
可行流为最大流的充要条件是不存在增广链。
从起点 v s v_s vs 到终点 v t v_t vt 的最大流的流量，等于分离 v s , v t v_s,v_t vs,vt 的最小截集的容量。
寻找最大流的标号法，称为 2F 算法。可分为两个过程，一是标号过程，二是调整过程。
标号过程先给起点标上 ( 0 , + ∞ ) (0,+\infty) (0,+∞) ，若在前向弧 ( v i , v j ) (v_i,v_j) (vi,vj) 上， f i j < c i j f_{ij}
调整过程的调整量为终点的标号，令前向弧加上这个调整量，后向弧减去这个调整量。
当出现有多个收发点时，可以虚拟一个总发点和总收点或把所有收发点看成一个整体，先解决外部的流量分配，再解决整体内部的流量分配。当网络为无向图时，可以考虑用枚举法用最小截求最大流。标准的最大流问题应只有弧有容量限制，当出现某个节点也有容量限制时，应进行转换，将其分为两个节点 λ , μ \lambda,\mu λ,μ 。原来流入的弧全部连接到 λ \lambda λ ，原来流出的点全部从 μ \mu μ 节点流出。
最小费用流
链的费用为链中前向弧的费用减去后向弧的费用。所有增广链中费用最小的链称为最小费用增广链。
定理：若 f f f 是流量为 V ( f ) V(f) V(f) 的最小费用流， μ \mu μ 是关于 f f f 的从 v s v_s vs 到 v t v_t vt 的一条最小费用增广链，则 f f f 经过 μ \mu μ 调整流量后得到新的可行流 f ′ f' f′ ， f ′ f' f′ 一定是流量为 V ( f ) + θ V(f)+\theta V(f)+θ 的可行流中的最小费用流。
因此我们可以从某个初始的最小费用可行流（一般为零流）开始，寻找最小费用增广链，然后按照最大流的标号法，不断调整到目标流量。
初始的最小费用可行流好找，题目给了就用题目的，没给就用零流。那最小费用增广链怎么找？如果把每条弧的费用看成权，这就相当于求起点到终点的最短路。但是由于增广链中可能还有后向弧，无法直接利用最短路算法，因此需要构造一个有向网络 L ( f ) L(f) L(f) 。
为什么零流是最小费用流，因为流量等于 0 的流是唯一的，当然是最小费用流了。
构造的方法为：顶点仍然是原网络中的顶点，原来的每条弧变成两个方向相反的弧，正向弧如果非饱和，权重为费用 w i j w_{ij} wij ，否则为无穷；后向弧如果非零，权重为 − w i j -w_{ij} −wij ，否则为无穷。而权重为无穷的弧我们一般会省略。
根据初始可行流，我们构造一个网络，找起终点的最短路，在这条最小费用增广链上按照最大流算法调整，得到新流。根据新流又可以构造网络，如此循环。当出现找不到最短路时，说明已经达到最大流，如果此时的流量仍然小于目标流量，说明不存在流量为目标流量的最小费用流。
最小费用最大流
此时没有目标流量的要求，因此要一直寻找最短路，直到找不到为止。