[ACM学习] 背包问题深化

01背包的优化

因为我们更新数据时，都是从左到右进行更新的，所以我们可以把二维的dp变成一维的dp，并从后往前进行更新（这样可以保证进行更新的数据都是由旧数据更新新数据，而不是由新数据更新旧数据）

多重背包

朴素的想法就是把s个物品重复一遍，这样就是O(n*m*s)，容易超时，所以想想，怎么优化。

有点像倍增的思想，用1 2 4...等等数字，是因为二进制数可以表示任何数字，如果最后有剩余，就把那个剩余单独一组。

#include
#include
using namespace std;
#define ll long long

ll dp[20005];

int main()
{
  int n,m;
  cin >> n >> m;
  for(int i = 1 ; i <= n ; i++){
    ll w,v,s;
    cin >> w >> v >> s;
    //s = 14
    for(int k=1 ; k <= s ; s-=k,k+=k ){
        //k = 1 2 4 ...
      for(int j = m ; j >= k*w ; j--){
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*w]+k*v);
      }
    }
    //s 还有一部分剩余
    for(int j = m ; j >= s*w ; j--){
      dp[j]=max(dp[j],dp[j-s*w]+s*v);
    }
  }
  cout << dp[m];
  return 0;
}

s-=k,k+=k 保证了每次k是1 2 4...然后s是剩余的、还没有进行相加的数字，如果不满足下一个2的倍数，就自成一组。

单调队列优化多重背包

把时间复杂度降到O(n*m)

就是在 （不放物品、只放1个、放2个、......、放s个）这里面挑个最大值。

第一维可滚掉的意思是：可以把这个数组从后到前进行遍历，来个n次（第次的n都是一个新的物品）。

解释，毕竟这个物品，体积是v，在分完组之后，能对它进行影响的只有 j-v 那个点的值了。

代码。。。找了好多地方的，终于找到一个靠谱的且我能理解的。

以下是通过蓝桥题目的代码。

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define ll long long

const int N = 2e4+5;
pair q[N];
ll dp[N];
int head,tail;

int main()
{
  int n,V;
  cin >> n >> V;
  for(int i = 1 ; i <= n ; i++){
    int v,w,s;
    cin >> v >> w >> s;
    int num = min(V/v,s);
    for(int mo = 0 ; mo < v ; mo++){
      head=0,tail=0;
      for(int k = 0 ; k <= (V-mo)/v ; k++){
        int y=dp[k*v+mo]-k*w;
        int x=k;
        while(head

费用背包模型

只是多一个维度，代码如下：

int main()
{
  // 请在此输入您的代码
  int n,V,M;
  cin >> n >> V >> M;
  for(int i = 1 ; i <= n ; i++){
    int v,m,w;
    cin >> v >> m >> w;
    for(int j = V ; j >= v ; j--){
      for(int k = M ; k >= m ; k--){
        dp[j][k]=max(dp[j][k],dp[j-v][k-m]+w);
      }
    }
  }
  cout << dp[V][M];
  return 0;
}

分组背包

每组只能挑一个，可以不挑。

对dp[i][j] 会有 s 次的更新，因为要和同组内进行竞争，所以找dp[i][j]的max会和当时dp[i][j]的值进行对比，为了不漏 dp[i-1][j] ，所以要在组内循环前把 dp[i][j]=dp[i-1][j] 方便之后对比。

int main()
{
  // 请在此输入您的代码
  int n,V;
  cin >> n >> V;
  for(int i = 1 ; i <= n ; i++){
    for(int j = 1 ; j <= V ; j++){
      dp[i][j]=dp[i-1][j];
    }
    int s;
    cin >> s;
    while(s--){
      int w,v;
      cin >> w >> v;
      for(int j = w ; j <= V ; j++){
        dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-w]+v);
      }
    }
  }
  cout << dp[n][V];
  return 0;
}