数据结构之线索二叉树

  数据结构是程序设计的重要基础，它所讨论的内容和技术对从事软件项目的开发有重要作用。学习数据结构要达到的目标是学会从问题出发，分析和研究计算机加工的数据的特性，以便为应用所涉及的数据选择适当的逻辑结构、存储结构及其相应的操作方法，为提高利用计算机解决问题的效率服务。
  数据结构是指数据元素的集合及元素间的相互关系和构造方法。元素之间的相互关系是数据的 逻辑结构，数据元素及元素之间关系的存储称为 存储结构(或物理结构)。数据结构按照逻辑关系的不同分为 线性结构和 非线性结构两大类，其中，非线性结构又可分为树结构和图结构。
  树结构是一种非常重要的非线性结构，该结构中的一个数据元素可以有两个或两个以上的直接后继元素，树可以用来描述客观世界中广泛存在的层次结构关系。
  二叉树是 n(n≥0)个结点的有限集合，它或者是空树(n=0)，或者是由一个根结点及两棵不相交的且分别称为左、右子树的二叉树所组成。可见，二叉树具有递归性质。
  遍历是按某种策略访问树中的每个结点，且仅访问一次的过程。由于二叉树所具有的递归性质，一棵非空的二叉树是由根结点、左子树和右子树三部分构成的，因此若能依次遍历这三部分，也就遍历了整棵二叉树。

1、定义

  二叉树的遍历实质上是对一个非线性结构进行线性化的过程，它使得每个结点（除第一个和最后一个）在这些线性序列中有且仅有一个直接前驱和直接后继。但在二叉链表存储结构中，只能找到一个结点的左、右孩子，不能直接得到结点在任一遍历序列中的前驱和后继，这些信息只有在遍历的动态过程中才能得到，因此，引入线索二叉树来保存这些动态过程得到的信息。

2、建立线索二叉树

  为了保存结点在任一序列中的前驱和后继信息，可以考虑在每个结点中增加两个指针域来存放遍历时得到的前驱和后继信息，这样就可以为以后的访问带来方便。但增加指针信息会降低存储空间的利用率，因此可考虑采用其他方法。
  若n个结点的二叉树采用二叉链表做存储结构，则链表中必然有 n+1个空指针域，可以利用这些空指针域来存放结点的前驱和后继信息。为此，需要在结点中增加标志 ltag 和 rtag，以区分孩子指针的指向，如下所示。

ltag	lchild	data	rchild	rtag

  其中：

  若二叉树的二叉链表采用以上所示的结点结构，则相应的链表称为线索链表，其中指向结点前驱、后继的指针称为线索。加上线索的二叉树称为线索二叉树。对二叉树以某种次序遍历使其成为线索二叉树的过程称为线索化。中序线索二叉树及其存储结构如下图 所示。

  那么如何进行线索化呢? 按某种次序将二叉树线索化，实质上是在遍历过程中用线索取代空指针。因此，若设指针 p 指向正在访间的结点，则遍历时设立一个指针 pre，使其始终指向刚刚访问过的结点（即 p 所示结点的前驱结点），这样就记下了遍历过程中结点被访问的先后关系。
  在遍历的过程中，设指针 p 指向正在访问的结点。
  （1）若 p 所指向的结点有空指针域，则将相应的标志域置为 1。
  （2）若 pre!=NULL 且 pre 所指结点的 rtag 等于 1，则令 pre->rchild=p
  （3）若p所指向结点的 ltag 等于 1，则令 p->lchild=pre。
  （4）使pre 指向刚刚访问过的结点，即令 pre=p。
  需要说明的是，用这种方法得到的线索二叉树，其线索并不完整。也就是说，部分结点的前驱或后继信息还需要通过进一步的运算来得到。

3、访问线索二叉树

  如何在线索二叉树中查找结点的前驱和后继呢?
  以中序线索二叉树为例，令p 指向树中的某个结点，查找 p 所指结点的后继结点的方法如下所述。
  （1）若 p->rtag ==1，则 p->rchild 即指向其后继结点。
  （2）若 p->rtag ==0 ，则 p 所指结点的中序后继必然是其右子树中进行中序遍历得到的第一个结点。也就是说，从p所指结点的右子树的根结点出发，沿左孩子指针链向下查找，直到找到一个没有左孩子的结点时为止，这个结点就是p 所指结点的直接后继结点，也称其为 p 的子树中“最左下”的结点