腾讯同事要跳槽，问我背包问题具体咋回事，我直接甩给他这篇！
相信很多小伙伴刷题的时候面对力扣上近两千到题目，感觉无从下手，我花费半年时间整理了Github项目：leetcode刷题攻略。 里面有100多道经典算法题目刷题顺序、配有40w字的详细图解，常用算法模板总结，以及难点视频讲解，按照list一道一道刷就可以了！star支持一波吧！
这将是你看完的全网最详细的01背包讲解！
背包问题的经典资料当然是：背包九讲。在公众号「代码随想录」后台回复：背包九讲，就可以获得背包九讲的PDF。
但说实话，背包九讲对于小白来说确实不太友好，看起来还是有点费劲的，而且都是伪代码理解起来也吃力。
对于面试的话，其实掌握01背包，和完全背包，就够用了，最多可以再来一个多重背包。
如果这几种背包，分不清，我这里画了一个图，如下：
至于背包九讲其其他背包，面试几乎不会问，都是竞赛级别的了，leetcode上连多重背包的题目都没有，所以题库也告诉我们，01背包和完全背包就够用了。
而完全背包又是也是01背包稍作变化而来，即：完全背包的物品数量是无限的。
所以背包问题的理论基础重中之重是01背包，一定要理解透！
leetcode上没有纯01背包的问题，都是01背包应用方面的题目，也就是需要转化为01背包问题。
所以我先通过纯01背包问题，把01背包原理讲清楚，后续再讲解leetcode题目的时候，重点就是讲解如何转化为01背包问题了。
之前可能有些录友已经可以熟练写出背包了，但只要把这个文章仔细看完，相信你会意外收获！
01背包二维dp数组实现
有N件物品和一个最多能被重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
这是标准的背包问题，以至于很多同学看了这个自然就会想到背包，甚至都不知道暴力的解法应该怎么解了。
这样其实是没有从底向上去思考，而是习惯性想到了背包，那么暴力的解法应该是怎么样的呢？
每一件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况，那么时间复杂度就是O(2^n)，这里的n表示物品数量。
所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化！
在下面的讲解中，我举一个例子：
背包最大重量为4。
物品为：
| 重量 | 价值 | |
|---|---|---|
| 物品0 | 1 | 15 |
| 物品1 | 3 | 20 |
| 物品2 | 4 | 30 |
问背包能背的物品最大价值是多少？
以下讲解和图示中出现的数字都是以这个例子为例。
二维dp数组01背包
依然动规五部曲分析一波。
- 确定dp数组以及下标的含义
对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
只看这个二维数组的定义，大家一定会有点懵，看下面这个图：
要时刻记着这个dp数组的含义，下面的一些步骤都围绕这dp数组的含义进行的，如果哪里看懵了，就来回顾一下i代表什么，j又代表什么。
- 确定递推公式
再回顾一下dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
那么可以有两个方向推出来dp[i][j]，
- 由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]
- 由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值
所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
- dp数组如何初始化
关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。
首先从dp[i][j]的定义触发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：
在看其他情况。
状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。
dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。
代码如下：
// 倒叙遍历
for (int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--) {
dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0]; // 初始化i为0时候的情况
}
大家应该发现，这个初始化为什么是倒叙的遍历的？正序遍历就不行么？
正序遍历还真就不行，dp[0][j]表示容量为j的背包存放物品0时候的最大价值，物品0的价值就是15，因为题目中说了**每个物品只有一个！**所以dp[0][j]如果不是初始值的话，就应该都是物品0的价值，也就是15。
但如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！ 例如代码如下：
// 正序遍历
for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++) {
dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
}
例如dp[0][1] 是15，到了dp[0][2] = dp[0][2 - 1] + 15; 也就是dp[0][2] = 30 了，那么就是物品0被重复放入了。
所以一定要倒叙遍历，保证物品0只被放入一次！这一点对01背包很重要，后面在讲解滚动数组的时候，还会用到倒叙遍历来保证物品使用一次！
此时dp数组初始化情况如图所示：
dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？
dp[i][j]在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，因为0就是最小的了，不会影响取最大价值的结果。
如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷了。例如：一个物品的价值是-2，但对应的位置依然初始化为0，那么取最大值的时候，就会取0而不是-2了，所以要初始化为负无穷。
这样才能让dp数组在递归公式的过程中取最大的价值，而不是被初始值覆盖了。
最后初始化代码如下：
// 初始化 dp
vector> dp(weight.size() + 1, vector(bagWeight + 1, 0));
for (int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--) {
dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
}
费了这么大的功夫，才把如何初始化讲清楚，相信不少同学平时初始化dp数组是凭感觉来的，但有时候感觉是不靠谱的。
- 确定遍历顺序
在如下图中，可以看出，有两个遍历的维度：物品与背包重量
那么问题来了，先遍历 物品还是先遍历背包重量呢？
其实都可以！！ 但是先遍历物品更好理解。
那么我先给出先遍历物品，然后遍历背包重量的代码。
// weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j]; // 这个是为了展现dp数组里元素的变化
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
先遍历背包，再遍历物品，也是可以的！（注意我这里使用的二维dp数组）
例如这样：
// weight数组的大小 就是物品个数
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
为什么也是可以的呢？
要理解递归的本质和递推的方向。
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 递归公式中可以看出dp[i][j]是靠dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]]推导出来的。
dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]] 都在dp[i][j]的左上角方向（包括正左和正上两个方向），那么先遍历物品，再遍历背包的过程如图所示：
再来看看先遍历背包，再遍历物品呢，如图：
大家可以看出，虽然两个for循环遍历的次序不同，但是dp[i][j]所需要的数据就是左上角，根本不影响dp[i][j]公式的推导！
但先遍历物品再遍历背包这个顺序更好理解。
其实背包问题里，两个for循环的先后循序是非常有讲究的，理解遍历顺序其实比理解推导公式难多了。
- 举例推导dp数组
来看一下对应的dp数组的数值，如图：
最终结果就是dp[2][4]。
建议大家此时自己在纸上推导一遍，看看dp数组里每一个数值是不是这样的。
做动态规划的题目，最好的过程就是自己在纸上举一个例子把对应的dp数组的数值推导一下，然后在动手写代码！
很多同学做dp题目，遇到各种问题，然后凭感觉东改改西改改，怎么改都不对，或者稀里糊涂就改过了。
主要就是自己没有动手推导一下dp数组的演变过程，如果推导明白了，代码写出来就算有问题，只要把dp数组打印出来，对比一下和自己推导的有什么差异，很快就可以发现问题了。
完整C++测试代码
void test_2_wei_bag_problem1() {
vector weight = {1, 3, 4};
vector value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
// 二维数组
vector> dp(weight.size() + 1, vector(bagWeight + 1, 0));
// 初始化
for (int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--) {
dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
}
// weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp[weight.size() - 1][bagWeight] << endl;
}
int main() {
test_2_wei_bag_problem1();
}
以上遍历的过程也可以这么写：
// 遍历过程
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
if (j - weight[i] >= 0) {
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
}
这么写打印出来的dp数据这就是这样：
空出来的0其实是用不上的，版本一 能把完整的dp数组打印出来，出来我用版本一来讲解。
总结
讲了这么多才刚刚把二维dp的01背包讲完，这里大家其实可以发现最简单的是推导公式了，推导公式估计看一遍就记下来了，但难就难在如何初始化和遍历顺序上。
可能有的同学并没有注意到初始化 和 遍历顺序的重要性，我们后面做力扣上背包面试题目的时候，大家就会感受出来了。
接下来我们再来讲一维dp数组实现的01背包（滚动数组），分析一下和二维有什么区别，在初始化和遍历顺序上又有什么差异！
01背包一维dp数组实现（滚动数组）
再来说一说滚动数组，其实在前面的题目中我们已经用到过滚动数组了，就是把二维dp降为一维dp，一些录友当时还表示比较困惑。
那么我们通过01背包，来彻底讲一讲滚动数组！
接下来还是用如下这个例子来进行讲解
背包最大重量为4。
物品为：
| 重量 | 价值 | |
|---|---|---|
| 物品0 | 1 | 15 |
| 物品1 | 3 | 20 |
| 物品2 | 4 | 30 |
问背包能背的物品最大价值是多少？
一维dp数组（滚动数组）
对于背包问题其实状态都是可以压缩的。
在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
于其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。
这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。
读到这里估计大家都忘了 dp[i][j]里的i和j表达的是什么了，i是物品，j是背包容量。
dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
一定要时刻记住这里i和j的含义，要不然很容易看懵了。
动规五部曲分析如下：
- 确定dp数组的定义
在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。
- 一维dp数组的递推公式
dp[j]为 容量为j的背包所背的最大价值，那么如何推导dp[j]呢？
dp[j]可以通过dp[j - weight[j]]推导出来，dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。
dp[j - weight[i]] + value[i] 表示 容量为 j - 物品i重量 的背包 加上 物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）
此时dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j]，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，指定是取最大的，毕竟是求最大价值，
所以递归公式为：
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
可以看出相对于二维dp数组的写法，就是把dp[i][j]中i的维度去掉了。
- 一维dp数组如何初始化
关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。
dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。
那么dp数组除了下标0的位置，初始为0，其他下标应该初始化多少呢？
看一下递归公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。
这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。
那么我假设物品价值都是大于0的，所以dp数组初始化的时候，都初始为0就可以了。
- 一维dp数组遍历顺序
代码如下：
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
这里大家发现和二维dp的写法中，遍历背包的顺序是不一样的！
二维dp遍历的时候，背包容量是从小到大，而一维dp遍历的时候，背包是从大到小。
为什么呢？
倒叙遍历是为了保证物品i只被放入一次！，在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！中讲解二维dp数组初始化dp[0][j]时候已经讲解到过一次。
举一个例子：物品0的重量weight[0] = 1，价值value[0] = 15
如果正序遍历
dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15
dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30
此时dp[2]就已经是30了，意味着物品0，被放入了两次，所以不能正序遍历。
为什么倒叙遍历，就可以保证物品只放入一次呢？
倒叙就是先算dp[2]
dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15 （dp数组已经都初始化为0）
dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15
所以从后往前循环，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取一次了。
那么问题又来了，为什么二维dp数组历的时候不用倒叙呢？
因为对于二维dp，dp[i][j]都是通过上一层即dp[i - 1][j]计算而来，本层的dp[i][j]并不会被覆盖！
（如何这里读不懂，大家就要动手试一试了，空想还是不靠谱的，实践出真知！）
再来看看两个嵌套for循环的顺序，代码中是先遍历物品嵌套遍历背包容量，那可不可以先遍历背包容量嵌套遍历物品呢？
不可以！
因为一维dp的写法，背包容量一定是要倒序遍历（原因上面已经讲了），如果遍历背包容量放在上一层，那么每个dp[j]就只会放入一个物品，即：背包里只放入了一个物品。
（这里如果读不懂，就在回想一下dp[j]的定义，或者就把两个for循环顺序颠倒一下试试！）
所以一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维其实是有很大差异的！，这一点大家一定要注意。
- 举例推导dp数组
一维dp，费用用物品0，物品1，物品2 来遍历背包，最终得到结果如下：
一维dp01背包完整C++测试代码
void test_1_wei_bag_problem() {
vector weight = {1, 3, 4};
vector value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
// 初始化
vector dp(bagWeight + 1, 0);
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
test_1_wei_bag_problem();
}
可以看出，一维dp 的01背包，要比二维简洁的多！ 初始化 和 遍历顺序相对简单了。
所以我倾向于使用一维dp数组的写法，比较直观简洁，而且空间复杂度还降了一个数量级！
在后面背包问题的讲解中，我都直接使用一维dp数组来进行推导。
总结
以上的讲解可以开发一道面试题目（毕竟力扣上没原题）。
就是本文中的题目，要求先实现一个纯二维的01背包，如果写出来了，然后再问为什么两个for循环的嵌套顺序这么写？反过来写行不行？再讲一讲初始化的逻辑。
然后要求实现一个一维数组的01背包，最后再问，一维数组的01背包，两个for循环的顺序反过来写行不行？为什么？
注意以上问题都是在候选人把代码写出来的情况下才问的。
就是纯01背包的题目，都不用考01背包应用类的题目就可以看出候选人对算法的理解程度了。
相信大家读完这篇文章，应该对以上问题都有了答案！
此时01背包理论基础就讲完了，这篇文章把01背包的dp数组定义、递推公式、初始化、遍历顺序从二维数组到一维数组统统深度剖析了一遍，没有放过任何难点。
大家可以发现其实信息量还是挺大的。
不用再凭感觉或者记忆去写背包，而是有自己的思考，了解其本质，代码的方方面面都在自己的掌控之中。
即使代码没有通过，也会有自己的逻辑去debug，这样就思维清晰了。
接下来就要开始用这两天的理论基础去做力扣上的背包面试题目了，录友们握紧扶手，我们要上高速啦！
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