C语言小游戏——3、寻找大公约和小公倍的多种求法

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一、最大公约数有四种求解：

法 一：暴力求解

法 二：更相减损法

法 三：辗转相除法

二、最小公倍数有两种求解：

法 一：暴力求解

法 二：公式法

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一、最大公约数有四种求解：

什么是最大公约数呢？定义如下：
如果数 a 能被数 b 整除，a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数。几个整数中公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

例：12、18的公约数有1、2、3、6，其中最大的一个是6，则6是12与18的最大公约数。

法 一：暴力求解

从上面举的例子我们可以分析，最大公约数一定不会大于两个数之间的最小数，最大也就是两个数的最小值，如20、40的最大公约数是20。

思路：

所以我们可以令两个数的最小值为最大公约数，然后我们再用两个数分别除去这两个数的最小值，如果都能整除，则就是最大公约数，否则就自减 1 再去除，判断是否能整除，不能就再自减1，一直循环下去直到找到都能被整除的数。（最坏的情况就是找到1停止）

比如上面的12、18这俩个数，这两个数的最小值是12，则定义变量tmp=12，然后判断12、18是否都能整除变量tmp。
tmp=12,不能被整除，自减1
tmp=11,不能被整除，自减1
tmp=10,不能被整除，自减1
tmp=9,不能被整除，自减1
tmp=8,不能被整除，自减1
········
tmp=6,都能被12、18整除
所以找到最大公约数了，12，18的最大公约数是6。

代码实现：

int main()
{
	int a = 0, b = 0;
	printf("请输入数字：");
	scanf("%d %d", &a, &b);
	int tmp = a < b ? a : b;//把两个数的最小值赋给tmp
	{
		while (1)
		{
			if (a % tmp == 0 && b % tmp == 0)
			{
				break;//找到最大公约数了，跳出循环
			}
			tmp--;//两个数都不能整除，自减1
		}
		printf("最大公约数为：%d", tmp);
	}
	return 0;
}

法 二：更相减损法

更相减损法：也叫更相减损术，是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。

思路：
以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到它们两个数相等为止。则相等的两个数就是所求的最大公约数。

代码实现：

int main()
{
	int x = 0, y = 0;
	printf("请输入两个数字：");
	scanf("%d%d",&x,&y);
	while (x != y)  //两个数不相等就一直循环
	{
		if (x > y)
		{
			x = x - y;
		}
		else if (x < y)
		{
			y = y - x;
		}
	}
	//到这里则是两个数相等，取其任何一个就是最大公约数
	printf("最大公约数是：%d\n", x);
	return 0;
}

法 三：辗转相除法

思路：用辗转相除法求几个数的最大公约数，可以先求出其中任意两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数，依次求下去，直到最后一个数为止。最后所得的那个最大公约数，就是所有这些数的最大公约数。

代码实现：以三个数为例

int main()
 {
    int x = 0, y = 0, z = 0;
    int tmp = 0;
    // 输入三个整数
    printf("请输入三个数字：");
    scanf("%d %d %d", &x, &y, &z);
    // 计算第一个数和第二个数的最大公约数
    while (y != 0) 
    {
        tmp = x % y;
        x = y;
        y = tmp;
    }
    // 计算得到的最大公约数与第三个数的最大公约数作比较
    while (z != 0) 
    {
        tmp = x % z;
        x = z;
        z = tmp;
    }
    // 输出结果
    printf("三个数的最大公约数是：%d\n", x);
    return 0;
}

二、最小公倍数有两种求解：

几个数共有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。

举几个例子：12、18的最小公倍数是36
 

法 一：暴力求解

通过上面举的例子我们可以发现 最小公倍数一定大于或等于两个数的最大值。

思路：所以我们可以先找出两个数的最大值，然后赋值给变量tmp，然后用变量tmp分别除去两个数，如果能整除，则就是最小公倍数，否则变量tmp自加1，再分别除去两个数，判断是否能整除，一直循环下去，直到变量tmp都能够整除两个数。

比如12、18这两个数，这两个数的最大值是18，则定义变量tmp=18，然后判断变量tmp是否都能整除12、18。
tmp=18,不能整除12、18，自加1
tmp=19,不能整除12、18，自加1
tmp=20,不能整除12、18，自加1
tmp=21,不能整除12、18，自加1
tmp=22,不能整除12、18，自加1
········
tmp=36,都能整除12、18
所以找到最小公倍数了，12，18的最小公倍数是36。

代码实现：

int main()
{
	int a = 0, b = 0;
	printf("请输入两个数字：");
	scanf("%d %d", &a, &b);
	int tmp = a > b ? a : b;
	while (1)
	{
		if (tmp % a == 0 && tmp % b == 0)
		{
			break;
		}
		tmp++;
	}
	printf("最小公倍数：%d", tmp);
	return 0;
}

法 二：公式法

由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积。
所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用两个数的积除去最大公约数得出它们的最小公倍数。
因此我们可以利用上面任何一种求最大公约数的方法来实现，先求最大公约数然后再求最小公倍数。

int Fun(int x, int y)
{
	if (x > y)
	{
		return Fun(y, x - y);  //再开辟一个Fun函数
	}
	else if (x < y)
	{
		return Fun(x, y - x);   //再开辟一个Fun函数
	}
	else   //找到相减到相等
	{
		return x;
	}
}
int main()
{
	int x = 0, y = 0;
	printf("请输入两个数字：");
	scanf("%d%d", &x, &y);
	int ret = Fun(x, y);
	printf("最大公约数是：%d\n", ret);
	printf("最小公倍数是：%d\n", x * y / ret);  //利用公式法，直接求出
	return 0;
}

淦碗鸡汤！！！