数据结构（一）__习题——双指针、区间合并、栈与队列 + 高精度

前言

重学算法第4天，希望能坚持打卡不间断，从基础课开始直到学完提高课。

预计时长三个月内，明天再来！肝就完了
2月16日,day04 打卡

今日已学完y总的
算法基础课-2.2-Week2 习题课
共6题，知识点如下
双指针：数组元素的目标和
复习了：
区间合并、
单链表、双链表
单调栈、单调队列
KMP简单讲了一下坐标从0开始的代码（建议从1开始写）

课程时间较短，再补一下二分和高精度，然后把双指针剩下的1题做了
包含：
二分：数的范围
高精度：
高精度加法、高精度减法
高精度乘法、高精度除法
双指针：判断子序列

双指针

AcWing 800. 数组元素的目标和

思路：先暴力再优化

对于每个 i 都找个 j
使其满足A[i] + B[i] >= X 且 j 最小(最靠左的一个)
i 变大后 j 一定会变小(升序数组)

样例

i指向第一个
j指向最后一个
对于每个i，j--
j到 4 时不满足A[i] + B[i] >= X , j不减了, i++

相等就停止

总结，双指针算法都是先把暴力写法做出来，然后看有没有单调性，如果有单调性，就可以使用它将时间复杂度降低一位

#include 
#include 

const int N = 100010;

int n, m, x;
int a[N], b[N];

int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &x);
    for (int i = 0; i < n; i ++) scanf("%d", &a[i]);
    for (int j = 0; j < m; j ++) scanf("%d", &b[j]);
    
    for (int i = 0, j = m - 1; i < n; i ++) {
        while (j >= 0 && a[i] + b[j] > x) j--;
        if (a[i] + b[j] == x) {
            printf("%d %d\n", i, j);
            break;
        }
    }
    return 0;
}
// 正是因为只有一组解，才能用双指针优化

稳扎稳打，先把该学的东西学会，掌握熟练了再去看别的东西，不管学什么都得有个过程

AcWing 2816. 判断子序列

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int a[N], b[N];

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    for (int i = 0; i < m; i++) scanf("%d", &b[i]);
    
    int i = 0, j = 0;
    while (i < n && j < m) {
        if (a[i] == b[j]) i++; // 如果匹配,i往后走
        j++; // 不管是否匹配,j往后走
    }
    
    if (i == n) puts("Yes");
    else puts("No");
    
    return 0;
}
    

复习

离散化

AcWing 802. 区间和

离散化的核心思想：把所有用到的数排个序 判个重
离散化的方式：用下标表示它原来的值

#include 
#include 
#include 

using namespace std;
// 每种操作都是2个数,用pair来存
typedef pair<int, int> PII;

const int N = 300010;

int n, m;
int a[N], s[N]; // a[]: 存的数 s:[] 前缀和

vector<int> alls; // 离散化后的结果
vector<PII> add, query;

// 求x离散化后的结果
int find(int x) { //返回的是输入的坐标的离散化下标
    // 不想二分也可以直接lower_bound
    // return lower_bound(alls.begin(), alls.end(), x) - alls.begin() - 1;
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while(l < r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if (alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r + 1; // 映射到从1开始的数,因为要用前缀和,从1开始比较好做
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    // 把所有用到的坐标都加到数组里去，最终alls里就是所有用到的坐标了
    
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int x, c;
        cin >> x >> c;
        add.push_back({x, c});// 下标x的位置加上c
        // 把所有加法操作读进来，并且把用到的下标存到数组
        alls.push_back(x); // 把x加到待离散化的数组里
    }
    // 询问操作（查询一段区间和）
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        query.push_back({l ,r}); // 插入pair,需要用{}括起来
        // 将查询一段区间和擦嘴的下标读进来并且存到数组
        alls.push_back(l);
        alls.push_back(r);
    }
    
    // 去重
    sort(alls.begin(), alls.end());
    alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());
    
    // 处理插入  先转化成离散后的值再操作
    for (auto item : add) { 
        int x = find(item.first); // 求x离散化后的结果
        a[x] += item.second; // 在离散化后的位置上加上要加的数
    }
    
    // 预处理前缀和
    for (int i = 1; i <= alls.size(); i++) s[i] = s[i - 1] + a[i];
    
    // 处理询问  先变成离散化后的值
    for (auto item : query) {
        // item.first 左区间的值
        int l = find(item.first), r = find(item.second); // 左右端点离散化后的值
        // 中间所有数的个数
        cout << s[r] - s[l- 1] << endl; // 前缀和公式
    }
    
    return 0;
}

优质图解

单链表

AcWing 826. 单链表

第1个插入的数下标是0
第k个下标是 k-1
做的慢没关系，坚持就是胜利

#include 

using namespace std;

const int N = 100010;


// head 表示头结点的下标
// e[i] 表示节点i的值
// ne[i] 表示节点i的next指针是多少
// idx 存储当前已经用到了哪个点
int head, e[N], ne[N], idx;

// 初始化
void init()
{
    head = -1;
    idx = 0;
}

// 将x插入到头结点
void add_to_head(int x) { // head = idx, idx++ 可合并
    e[idx] = x, ne[idx] = head, head = idx, idx++;
}

// 将x插到下标是k的点后面
void add(int k, int x) {
    e[idx] = x, ne[idx] = ne[k], ne[k] = idx ++; 
}

// 将下标是k的点后面的点删掉
int remove(int k) {
    ne[k] = ne[ne[k]];
}

int main() {
    int m;
    cin >> m;
    
    init();
    
    while (m--) {
        int k, x;
        char op;
        
        cin >> op;
        if (op == 'H') {
            cin >> x;
            add_to_head(x);
        } else if (op == 'D') {
            cin >> k;
            if (!k) head = ne[head]; // 删除头结点,直接指向下一个点
            remove(k - 1); // 第k个点,下标k-1
        } else {
            cin >> k >> x;
            add(k - 1, x);
        }
    }
    
    for (int i = head; i != - 1; i = ne[i]) // i从头结点开始,没遍历到空节点,每次i往后走一步
        cout << e[i] << ' '; // 输出i对应的值
    cout << endl;
    
    return 0;
}

双链表

单链表有个head指向第一个点
双链表没有这样的指针，让0表示最左侧点，1表示最右侧点

原因：单链表题中往往会用一个变量说明第一个点是什么
双链表一般不需要存左右端点是啥，直接用里面的数

AcWing 827. 双链表

每个插入操作都能能add（k，x）实现

#include 

using namespace std;

const int N = 100010;

int m;
int e[N], l[N], r[N], idx;

//初始化
void init() {
    // 0 表示左端点,1表示右端点
    r[0] = 1, l[1] = 0; // 0号点的右边是1,1号点的左边是0
    idx = 2; // 0和1被占用了
}

// 在节点k的右边插入一个数x
void insert(int k, int x) {
    e[idx] = x;
    r[idx] = r[k];
    l[idx] = k;  
    l[r[k]] = idx; // 需要先改原来r[k]左指针的值,因为下面r[k]要指向idx
    r[k] = idx; // idx需要++
    idx++;
}

// 删除第k个点
void remove(int k) {
    r[l[k]] = r[k]; // k的左边点的右节点指向k的右边点
    l[r[k]] = l[k]; // k的右边点的左节点指向k的左边点
}


int main()
{
    cin >> m;
    
    init(); // 容易漏
    
    while (m -- )
    {
        string op;
        cin >> op;
        int k, x;
        
        if (op == "L") //最左端插入数x
        {
            cin >> x;
            insert(0, x);
        }
        else if (op == "R") // 最右端插入数x
        {
            cin >> x;
            insert(l[1], x);
        }
        else if (op == "D") // 将第 k 个插入的数删除
        {
            cin >> k;
            remove(k + 1); // 用 k+1 的原因是 双链表的起始点是2，(k-1+2) = k+1，单链表还是k-1
        }
        else if (op == "IL") // 不止一个字母,要用字符串符号""
        {
            cin >> k >> x;  // 第 k 个插入的数左侧插入一个数
            insert(l[k + 1], x);
        }
        else                
        {   // 第 k 个插入的数右侧插入一个数
            cin >> k >> x;
            insert(k + 1, x);
        }
    }
    //从 r[0]开始是因为 0 为左边界，而终止条件 i==1是因为1为右边界（如果碰到，说明已经遍历完毕）
    for (int i = r[0]; i != 1; i = r[i]) cout << e[i] << ' ';
    cout << endl;

    return 0;
}

单调栈

AcWing 830. 单调栈

存在逆序的（如前面是5后面是3），就将大的数删掉，因为如果大的数 (5)也比a[i]小
更近的那个 (3) 也会比i小
最终会形成单调递增的序列（逆序比他大的数都删了，所以只能后面的数比他大）

#include 

using namespace std;

const int N = 100010;

int n;
int stk[N], tt;
// 使用scanf和printf速度能加快许多，输出输出较大的话，推荐使用
// cin 984 ms
// scanf 	113 ms
int main () {
    //cin >> n;
    scanf ("%d", &n);
    
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int x;
        //cin >> x;
        scanf ("%d", &x);
        
        while (tt && stk[tt] >= x)  tt--; // 将stk[tt](栈顶)所有比 a[i]大的数都删掉
        if (tt) 
            //cout << stk[tt] << ' ';
            printf("%d ", stk[tt]);
        else 
            //cout << -1 << ' ';
            printf("-1 ");
        stk[++ tt] = x; // 将x插入栈内
    }
    
    return 0;
}

单调队列

队头就是最大值

AcWing 154. 滑动窗口

#include 

using namespace std;

const int N = 1000010;

int n, k;
int a[N], q[N]; // q[]中存的是下标

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for (int i = 0; i < n; i ++) scanf("%d", &a[i]);
    
    int hh = 0, tt = -1;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        // 判断队头是否已经划出窗口
        if (hh <= tt && i -k + 1 > q[hh]) hh++;  // 每次最多只有一个数不在窗口内,所以可以用if
        // 新插入的数比队尾小就把队尾删掉-->单调递增
        while (hh <= tt && a[q[tt]] >= a[i])  tt--;  
        q[++ tt] = i; // 将当前数插入队列 i也可能是最小值
        // 判断一下,有k个数才开始输出
        if (i >= k - 1) printf("%d ", a[q[hh]]);
    }
    puts(""); // 输出回车
    
    // 最大值是完全对称的写法
    hh = 0, tt = -1;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        // 判断队头是否已经划出窗口
        if (hh <= tt && i -k + 1 > q[hh]) hh++;  
        // 新插入的数比队尾大就把队尾删掉-->单调递减
        while (hh <= tt && a[q[tt]] <= a[i])  tt--;  // 一直删，直到队列数都比新加的大 
        q[++ tt] = i; 
        if (i >= k - 1) printf("%d ", a[q[hh]]);
    }
    puts("");
    
    return 0;
} 

kmp

也可以从0开始，或者将字符串前面塞一个字符

建议从1开始，代码更简洁，理解难度不变

从0开始的代码就不贴了

从1开始

#include 

using namespace std;

const int N = 10010, M = 100010;

int n, m;
char p[N], s[M];
int ne[N]; // next在C++中可能报错,某个头文件中用过

int main() {
    cin >> n >> p + 1 >> m >> s + 1; // 下标从1开始
    
    // 求next的过程
    for (int i = 2, j = 0; i <= n; i++) {
        while (j && p[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
        if (p[i] == p[j + 1]) j++; // 相等就前进一步
        ne[i] = j;
    }
    
    // kmp匹配过程
    for (int i = 1, j = 0; i <= m; i++) { // 和s[i]匹配的是p[j+1]
        // 不匹配了退一步,看什么时候能接着走,如果还是不能匹配就直接看下一个位置
        while (j && s[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
        if (s[i] == p[j+1]) j++; //如果已经匹配就将j移到下一个位置
        if (j == n) {
            // 匹配成功
            printf("%d ", i - n); // 题目下标从0开始,所以需要减一(i-n+1-1)
            j = ne[j]; // 匹配成功后看下一个是能否匹配需要移动的最短距离next[j]
        }
    }
    
    return 0;
}

补充

二分

二分的本质：边界
找到一个性质可以把整个区间一分为二，一半满足，一半不满足，二分就可以寻找边界

共两种形式

①不看绿色部分，找红色部分的边界点

②找绿色部分的边界点

怎么看需不需要补1？

想一下check函数如果是true或false的话，如何更新区间
如果是r =mid 就不补

为什么mid要补1？

C++是向下取整

当l和r只差一的时候，即l = r - 1 ,

如果mid = (l + r) / 2 ，则化简后mid = l
当check函数为ture时，区间更新，要将 mid 赋给 l，
即l = mid ，更新后仍然是 l
循环一次后l没变，下次也不会变，死循环了 ，所以必须要补上+1

补上后此时mid = (l + r) / 2 ，化简后mid = r，将mid = r 赋给 l，此时区间更新为[r,r]，则走到最后了，循环结束

AcWing 789. 数的范围

整数二分

输出起始下标和中止下标

#include 

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int q[N];

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &q[i]);
    
    while (m--) {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        
        int l = 0, r = n - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            // 找所有 >=x 的数(第一个位置)
            if (q[mid] >= x) r = mid; // [l, mid]    是r = mid,mid不需要补+1
            else l = mid + 1; // 忘记是取mid复制给l还是mid就画图
        }
        // while循环结束时 l和r 相等
        if (q[l] != x) cout << "-1 -1" <<endl;
        else {
            cout << l << ' ';
            
            // 找所有 <=x 的数(最后一个位置)
            int l = 0, r = n - 1;
            while (l < r) {
                int mid = l + r + 1>> 1;
                if (q[mid] <= x) l = mid;// [mid, r]   不是r=mid,mid要补+1
                else r = mid - 1;
            }
            cout << l << endl;
        }
    }
    return 0;
}

图中二分后更新区间,如下图

每次都保证区间内有答案，当二分到区间长度为1时，剩下的就是答案
二分一定有解
无解的话一定是根据二分得出的情况判断出题目无解

双指针

AcWing 2816. 判断子序列

判断A里面的值是不是可以顺次匹配到B里面

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int a[N], b[N];

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    for (int i = 0; i < m; i++) scanf("%d", &b[i]);
    
    int i = 0, j = 0;
    while (i < n && j < m) {
        if (a[i] == b[j]) i++; // 如果匹配,i往后走
        j++; // 不管是否匹配,j往后走
    }
    
    if (i == n) puts("Yes");
    else puts("No");
    
    return 0;
}
    

高精度

模版

// 高精度加法
// C = A + B, A >= 0, B >= 0
vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    if (A.size() < B.size()) return add(B, A);

    vector<int> C;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
        t += A[i];
        if (i < B.size()) t += B[i];
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    if (t) C.push_back(t);
    return C;
}

// 高精度减法
// C = A - B, 满足A >= B, A >= 0, B >= 0
vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    vector<int> C;
    for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
        t = A[i] - t;
        if (i < B.size()) t -= B[i];
        C.push_back((t + 10) % 10);
        if (t < 0) t = 1;
        else t = 0;
    }

    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}

// 高精度乘低精度
// C = A * b, A >= 0, b >= 0
vector<int> mul(vector<int> &A, int b)
{
    vector<int> C;

    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ )
    {
        if (i < A.size()) t += A[i] * b;
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();

    return C;
}

// 高精度除以低精度
// A / b = C ... r, A >= 0, b > 0
vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r)
{
    vector<int> C;
    r = 0;
    for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- )
    {
        r = r * 10 + A[i];
        C.push_back(r / b);
        r %= b;
    }
    reverse(C.begin(), C.end());
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}

大整数用数组倒序存,低位从下标0开始存到高位

AcWing 791. 高精度加法

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

// C = A + B
vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B) { //加上引用就不用copy数组,效率高
    vector<int> C;
    
    int t = 0; // 进位
    for (int i = 0; i < A.size() || i < B.size(); i++) {
        if (i < A.size()) t += A[i];
        if (i < B.size()) t += B[i];
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    
    if(t) C.push_back(1); // 如果最高位有进位
    return C;
}

int main() {
    string a, b;
    vector<int> A, B;
    
    cin >> a >> b; // a = "123456" 
    // 字母变数字需要减去'0'
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0'); // A = [6,5,4,3,2,1]
    for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i--) B.push_back(b[i] - '0');
    
    auto C = add(A, B);
    for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);
    
    return 0;
} 

AcWing 792. 高精度减法

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

// 判断是否有A >= B 
bool cmp(vector<int> &A, vector<int> &B) {
    if (A.size() != B.size()) return A.size() > B.size();
    for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i--) {
        if (A[i] != B[i]) 
            return A[i] > B[i];
    }
    return true;
}

// C = A - B
vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B) { 
    vector<int> C;
    
    int t = 0; // 进位
    for (int i = 0; i < A.size(); i++) {
        t = A[i] - t;
        if (i < B.size()) t -= B[i]; // B位数少,存在才减
        C.push_back((t + 10) % 10); // 减完后t可能小于0
        if (t < 0) t = 1;
        else t = 0;
    }
    // 去掉前面的0
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();

    return C;
}

int main() {
    string a, b;
    vector<int> A, B;
    
    cin >> a >> b; // a = "123456" 
    // 字母变数字需要减去'0'
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0'); // A = [6,5,4,3,2,1]
    for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i--) B.push_back(b[i] - '0');
    
    if (cmp (A, B)) {
        auto C = sub(A, B);
        for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);
    } else {
        auto C = sub(B, A);
        printf("-");
        for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);
    }
    
    return 0;
} 

AcWing 793. 高精度乘法

#include 
#include 

using namespace std;

// C = A * b
vector<int> mul(vector<int> &A, int b) {
    vector<int> C;
    
    int t = 0; // 进位
    for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++) { // t不是0就继续
        if(i < A.size()) t += A[i] * b;  //将b当做一个整体来用
        C.push_back(t % 10); //当前位
        t /= 10; // 进位
    }
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    
    return C;
}

int main() {
    string a;
    int b;
    cin >> a >> b;
    
    vector<int> A;
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');
    
    auto C = mul(A, b);
    
    for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);
    
    return 0;
}

AcWing 794. 高精度除法

#include 
#include 
#include 


using namespace std;

// A / b, 商是C,余数是r
vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r) { // r是引用
    vector<int> C; // 商是C
    r = 0;
    // 除法从最高位开始算
    for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i--) {
        r = r * 10 + A[i]; // 余数 = 余数 * 10 + 低一位
        C.push_back(r / b); // 当前位
        r %= b; // 余数
        
    }
    // C[0]要存最高位,需要逆过来(乘法中C[0]存的是最低位)
    reverse(C.begin(), C.end());
    // 只要size > 1 并且最高位是 0 就去掉最高位
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back(); // 去掉前面的0
    return C;
}

int main() {
    string a;
    int b;
    cin >> a >> b;
    
    vector<int> A;
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');
    int r;
    auto C = div(A, b, r);
    
    for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);
    cout << endl << r << endl;
    
    return 0;
}