四面体与四棱锥：2014年文数全国卷B18

2014年文数全国卷B18

如图，四棱锥 中，底面 为矩形，平面 ，为 的中点.

（Ⅰ）证明： // 平面 ;

（Ⅱ）设 ，三棱锥 的体积 ，求 到平面 的距离.

2014年文数全国卷B18

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【解答问题Ⅰ】

记 交点为 , 连接 .

∵ 是矩形，∴ 是 中点，

又∵ 是 中点，

∴ （中位线性质）

∵ , 平面 ,

∴ // 平面 . 证明完毕.

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【解答问题Ⅱ】

∵ 平面 ，

∴ .

∵ 是矩形，∴

∴ 平面 .

∴

∵ ,

∴

∴

由勾股定理可得：

∵ ,

∴

∵ 是矩形，

∴

记 到平面 的距离为 , 则

.

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【提炼与提高】

问题Ⅰ中，利用中位线的性质推出线线平行；由线线平行推出线面平行。这是立体几何中的常规操作。

问题Ⅱ中，利用四面体的体积公式求出点与平面的距离，也是常规操作。

四面体是最基本的多面体，也是高中立体几何的核心。玩转四面体，立体几何就通了。

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