利用梯度下降实现线性拟合

• 作业要求

本作业题要求使用线性拟合，利用梯度下降法，求解参数使得预测和真实值之间的均方误差（MSE）误差最小。定义误差如下：

其中：学习率设定为0.3，最大迭代次数设定为50次.初始值可设定为0到1之间的任意数值，我们可以采用随机数进行生成。

• 理论推导

本作业题的目的是搜索LOSS的最小点。为此我们使用梯度下降法，使得LOSS沿着负梯度方向下降，从而在规定的迭代次数内搜索到相应的符合要求的点。

我们使用的负梯度下降法的一般公式为：

其中：

是一个正实数，称为步长。

1. 的含义是：给定一个搜索点，由此点出发，根据向量指定的方向和幅值运动，可以得到新点；之后不断迭代，到达终止条件即可。

梯度下降法的终止条件通常有以下几种：

1. 达到最大迭代次数：在训练模型时，通常会指定最大的迭代次数，到这个迭代次数时，梯度下降算法就会停止运行；
2. 目标函数的值达到一定精度：如可以指定目标函数的值在两次迭代之间的变化小于某个设定值时，算法停止运行；
3. 达到一定的运行时间：可以通过设定算法运行的最大时间来确定算法是否停止。例如，可以指定算法运行时间在某个时间段之后停止。

在本实验中：我们的目标函数LOSS定义为：

在使用梯度下降法时，我们需要分别计算LOSS关于w和b的偏导数的值，并更新它们的值

由此，我们可以实现梯度下降的迭代计算，达到迭代50次的题目要求后终止即可。

• 实验结果

表1记录了前30次迭代中w、b和 Loss 的值。

表1 前30次迭代中w、b与Loss的值

次数	w	b	Loss
1	1.0122	1.8359	13.674
2	1.6054	2.8380	5.7524
3	1.9914	3.4821	2.4568
4	2.2438	3.8956	1.0847
5	2.4098	4.1603	0.5127
6	2.5202	4.3292	0.2738
7	2.5947	4.4364	0.1735
8	2.6459	4.5038	0.1311
9	2.6820	4.5457	0.1129
10	2.7084	4.5710	0.1049
11	2.7284	4.5858	0.1011
12	2.7442	4.5938	0.0992
13	2.7573	4.5975	0.0980
14	2.7686	4.5984	0.0971
15	2.7786	4.5975	0.0966
16	2.7877	4.5955	0.0961
17	2.7963	4.5929	0.0955
18	2.8044	4.5898	0.0946
19	2.8121	4.5865	0.0945
20	2.8196	4.5831	0.0941
21	2.8269	4.5797	0.0937
22	2.8339	4.5762	0.0933
23	2.8408	4.5727	0.0930
24	2.8475	4.5693	0.0926
25	2.8540	4.5660	0.9232
26	2.8604	4.5627	0.9200
27	2.8667	4.5594	0.0916
28	2.8728	4.5562	0.0913
29	2.8788	4.5531	0.9111
30	2.8847	4.5501	0.0904

附录

A.代码

% 读取数据

x = load('data_x.txt');

y = load('data_y.txt');



% 初始化参数

w = rand(1); % 随机生成一个0到1之间的数

b = rand(1); % 随机生成一个0到1之间的数

eta = 0.3; % 学习率

iter = 50; % 最大迭代次数



% 定义损失函数

n = length(x); % 数据的个数

L = @(w,b) (1/(n))*sum((x*w+b-y).^2); % 均方误差



% 定义梯度下降法的更新规则

dw = @(w,b) (1/n)*sum((x*w+b-y).*x); % w的偏导数

db = @(w,b) (1/n)*sum(x*w+b-y); % b的偏导数



% 初始化损失函数历史记录

costHistory = zeros(iter,1);



% 初始化参数历史记录

wHistory = zeros(iter,1);

bHistory = zeros(iter,1);



% 进行梯度下降法

for i = 1:iter

    % 更新参数

    w = w - eta*dw(w,b);

    b = b - eta*db(w,b);

    

    % 计算并记录损失函数值

    costHistory(i) = L(w,b);

    

    % 判断是否需要记录参数值

    if i <= 30

        % 记录参数值

        wHistory(i) = w;

        bHistory(i) = b;

    end

end



% 绘制数据点和拟合直线的图像

figure(1)

plot(x,y,'o') % 绘制数据点

hold on

plot(x,x*w+b,'r') % 绘制拟合直线

hold off

title('线性拟合结果')

xlabel('x')

ylabel('y')



% 绘制损失函数随迭代次数变化的图像

figure(2)

plot(1:iter,costHistory,'b')

title('损失函数随迭代次数变化')

xlabel('times')

ylabel('Loss')



% 创建一个表格，将wHistory、bHistory和costHistory的前30个值放入其中

T = table((1:30)',wHistory(1:30),bHistory(1:30),costHistory(1:30),'VariableNames',{'times','w','b','Loss'});



% 显示表格

disp(T)