蓝桥杯矩阵

问题描述

把 1 ∼ 2020 放在 2 × 1010 的矩阵里。

要求同一行中右边的比左边大，同一列中下边的比上边的大。一共有多少种方案？

答案很大，你只需要给出方案数除以 2020 的余数即可。

答案提交

这是一道结果填空题，你只需要算出结果后提交即可。
本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

解析：

先列举一个2x3的矩阵的例子开始分析

即题目更改为：

把1~6放在2x3的矩阵里有多少种方案；

1.根据题意，可以分析出最大的数字一定要放在右下角即：

x  x  x

x  x  6

因此题目又可以简化为：

把1~5放在第一行有三个位置，第二行有两个位置的矩阵中有多少种方案即：

x  x  x

x  x

再次分析最大数5的位置

有两种可能

可能1：

x  x  5

x  x

和

可能2：

x  x  x

x  5

这里只分析可能2（可能1 可以和2x3矩阵一样向下分析 不再赘述）

根据可能2

题目再次简化为：

把1~4放在第一行有三个位置，第二行有一个位置的矩阵中有多少种方案即：

x  x  x

x

再次分析最大数4的位置

有两种可能

可能一：

x  x  x

4

 可能二：

x  x  4

x

分析可能一：

根据题意 上面三个位置分配给1~3只有一种可能即为

1  2  3

4

 分析可能二：

题目再次简化为：

把1~3放在第一行有两个位置，第二行有一个位置的矩阵中有多少种方案即：

x  x

x

最大数3可以放在

x  3

x 

和

x  x

3 

 这两种情况都只有一种方案，加起来就可以有两种:

1  3

2

1  2

3 

 把1~4放在第一行有三个位置，第二行有一个位置的矩阵中有三种方案：

1  2  3

4

1  3  4

2 

1  2  4

3 

根据以上发现的规律就可以使用动态规划完成了

 

#include 
int dp[1011][1011];
int main()
{
    int i,j;
    for(i=1;i<1011;i++){
        dp[i][0]=1;
    }
    for(i=1;i<1011;i++){
        for(j=1;j<=i;j++){
                if(i==j){
                    dp[i][j]=dp[i][j-1];
                }else{
                    dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
                }
                dp[i][j]=dp[i][j]%2020;
        }
    }
    printf("%d",dp[1010][1010]);
	return 0;
}

答案：1340