【小呆的力学笔记】弹塑性力学的初步认知二：应力应变分析(2)

1.4 主应力空间、八面体应力

一点的应力状态不论如何变化，其主应力和主方向一致的话，该点的应力状态就是唯一确定的。因此，我们用主应力方向建立一个三维坐标系来描述问题将不失一般性，该坐标系如下图4，我们称之为主应力空间。我们考察等倾面组成的八面体，图中O’P点为等倾面ABC上面的应力向量$(p_1,p_2,p_3)$，八面体为等倾面八面体，即面ABC的法线方向余弦为$(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$。将O’P分解
$$\overline{O’P}=\overline{O’Q}+\overline{O’N}\text{\hspace{1em}(25)}$$

$$图4八面体$$
取等倾面和三个轴的坐标面组成的四面体为研究对象，如下图5所示。

$$图5等倾面四面体$$
根据斜面应力公式$p_j={\sigma }_{ij}{n}_i$，不难得到以下关系式（矩阵形式）
[ p 1 p 2 p 3 ] = [ σ 1 0 0 0 σ 2 0 0 0 σ 2 ] [ n 1 n 2 n 3 ] (26) \begin{bmatrix} p_1 \\ p_2\\p_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \sigma_1 & 0 & 0\\ 0 & \sigma_2 & 0 \\0 & 0 & \sigma_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} n_1 \\ n_2\\n_3 \end{bmatrix}\tag{26} ​p1​p2​p3​​ ​= ​σ1​00​0σ2​0​00σ2​​ ​ ​n1​n2​n3​​ ​(26)

其中$(n_1,n_2,n_3)=(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$为等倾面的法线方向余弦。
那么，有
σ 8 = [ n 1 n 2 n 3 ] [ p 1 p 2 p 3 ] = σ 1 n 1 2 + σ 2 n 2 2 + σ 3 n 3 2 = 1 3 ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) = 1 3 I 1 (27) \sigma_8 = \begin{bmatrix} n_1 & n_2 & n_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p_1 \\ p_2\\p_3 \end{bmatrix}=\sigma_1n_1^2+\sigma_2n_2^2+\sigma_3n_3^2=\frac{1}{3}(\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)=\frac{1}{3}I_1 \tag{27} σ8​=[n1​​n2​​n3​​] ​p1​p2​p3​​ ​=σ1​n12​+σ2​n22​+σ3​n32​=31​(σ1​+σ2​+σ3​)=31​I1​(27)
八面体相应的剪应力为
$$\begin{gathered} {\tau }_8=\sqrt{p^2-{\sigma }_8^2}=\sqrt{p_1^2+p_2^2+p_3^2-({\sigma }_1{n}_1^2+{\sigma }_2{n}_2^2+{\sigma }_3{n}_3^2{)}^2} \\ =\sqrt{{\sigma }_1^2{n}_1^2+{\sigma }_2^2{n}_2^2+{\sigma }_3^2{n}_3^2-({\sigma }_1{n}_1^2+{\sigma }_2{n}_2^2+{\sigma }_3{n}_3^2{)}^2} \\ =\sqrt{\frac{1}{3}({\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2+{\sigma }_3^2)-\frac{1}{9}({\sigma }_1+{\sigma }_2+{\sigma }_3{)}^2} \\ =\frac{1}{3}\sqrt{3({\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2+{\sigma }_3^2)-({\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2+{\sigma }_3^2+2{\sigma }_1{\sigma }_2+2{\sigma }_1{\sigma }_3+2{\sigma }_2{\sigma }_3)} \\ =\frac{1}{3}\sqrt{({\sigma }_1-{\sigma }_2{)}^2+({\sigma }_1-{\sigma }_3{)}^2+({\sigma }_2-{\sigma }_3{)}^2}=\sqrt{\frac{2}{3}{J}_2}=\sqrt{\frac{1}{3}{s}_{ij}{s}_{ij}}\text{\hspace{1em}(28)} \end{gathered}$$

1.5 应变分析

应变分析的内容同应力分析内容，只是注意一点，应变张量和工程应变在剪应变分量是不同的，定义如下。
[ ε x x ε y x ε z x ε x y ε y y ε z y ε x z ε y z ε z z ] = [ ε x x 1 2 γ y x 1 2 γ z x 1 2 γ x y ε y y 1 2 γ z y 1 2 γ x z 1 2 γ y z ε z z ] (29) \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} & \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{zx}\\ \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{zy}\\ \varepsilon_{xz} & \varepsilon_{yz} & \varepsilon_{zz} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} & \frac{1}{2}\gamma_{yx} & \frac{1}{2}\gamma_{zx}\\ \frac{1}{2}\gamma_{xy} & \varepsilon_{yy} & \frac{1}{2}\gamma_{zy}\\ \frac{1}{2}\gamma_{xz} & \frac{1}{2}\gamma_{yz} & \varepsilon_{zz} \end{bmatrix}\tag{29} ​εxx​εxy​εxz​​εyx​εyy​εyz​​εzx​εzy​εzz​​ ​= ​εxx​21​γxy​21​γxz​​21​γyx​εyy​21​γyz​​21​γzx​21​γzy​εzz​​ ​(29)
同样定义应变偏张量，有如下形式
[ e x x e y x e z x e x y e y y e z y e x z e y z e z z ] = [ ε x x ε y x ε z x ε x y ε y y ε z y ε x z ε y z ε z z ] − [ ε m 0 0 0 ε m 0 0 0 ε m ] (30) \begin{bmatrix} e_{xx} & e_{yx} & e_{zx}\\ e_{xy} & e_{yy} & e_{zy}\\ e_{xz} & e_{yz} & e_{zz} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} & \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{zx}\\ \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{zy}\\ \varepsilon_{xz} & \varepsilon_{yz} & \varepsilon_{zz} \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} \varepsilon_{m} & 0 & 0\\ 0 & \varepsilon_{m} & 0\\ 0 & 0 & \varepsilon_{m} \end{bmatrix}\tag{30} ​exx​exy​exz​​eyx​eyy​eyz​​ezx​ezy​ezz​​ ​= ​εxx​εxy​εxz​​εyx​εyy​εyz​​εzx​εzy​εzz​​ ​− ​εm​00​0εm​0​00εm​​ ​(30)
其中${\epsilon }_m=\frac{1}{3}({\epsilon }_{xx}+{\epsilon }_{yy}+{\epsilon }_{zz})$

1.6 特殊应力、应变定义

定义应力强度或等效应力$\overline{\sigma }$为
$$\begin{gathered} \overline{\sigma }=\sqrt{3J_2}=\sqrt{\frac{3}{2}{s}_{ij}{s}_{ij}} \\ =\sqrt{\frac{1}{2}[({\sigma }_1-{\sigma }_2{)}^2+({\sigma }_1-{\sigma }_3{)}^2+({\sigma }_2-{\sigma }_3{)}^2]} \\ =\sqrt{\frac{1}{2}[({\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy}{)}^2+({\sigma }_{xx}-{\sigma }_{zz}{)}^2+({\sigma }_{yy}-{\sigma }_{zz}{)}^2+6({\tau }_{xz}^2+{\tau }_{xy}^2+{\tau }_{yz}^2)]}\text{\hspace{1em}(31)} \end{gathered}$$
定义应变强度或等效应变$\overline{\epsilon }$为
$$\overline{\epsilon }=\sqrt{\frac{2}{3}{e}_{ij}{e}_{ij}}\text{\hspace{1em}(32)}$$

定义剪切等效应力$\overline{T}$为
$$\overline{T}=\sqrt{\frac{1}{2}{s}_{ij}{s}_{ij}}\text{\hspace{1em}(33)}$$
定义剪切等效应变$\overline{\Gamma }$为
$$\overline{\Gamma }=\sqrt{2e_{ij}{e}_{ij}}\text{\hspace{1em}(34)}$$
加上上面定义的八面体剪应力、八面体剪应变
$$\begin{gathered} {\tau }_8=\sqrt{\frac{1}{3}{s}_{ij}{s}_{ij}} \\ {\gamma }_8=\sqrt{\frac{4}{3}{e}_{ij}{e}_{ij}}\text{\hspace{1em}(35)} \end{gathered}$$

至于为什么定义这些应力应变，我们在后面再介绍。