初学数据结构：二叉树
目录
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- 1. 树型结构（了解）
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- 1.1 概念
- 1.2 树的基础概念（重要）
- 1.3 树的表示形式（了解）
- 1.4 树的应用
- 2. 二叉树（重点）
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- 2.1 概念
- 2.2 两种特殊的二叉树
- 2.3 二叉树的性质
- 2.4 二叉树的存储
- 2.5 二叉树的基本操作
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- 2.5.1 前置说明
- 2.5.2 二叉树的遍历
- 2.5.3 二叉树的基本操作
【本节目标】
- 掌握树的基本概念
- 掌握二叉树概念及特性
- 掌握二叉树的基本操作
- 完成二叉树相关的面试题练习
1. 树型结构（了解）
1.1 概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
- 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
- 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合 T 1 、 T 2 、 . . . . . . 、 T m T_1、T_2、......、T_m T1、T2、......、Tm，其中每一个集合 T i T_i Ti ( 1 < = i < = m 1 <= i <=m 1<=i<=m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
- 树是递归定义的
注意：树型结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
- 子树是不相交的
- 除了根结点外，每个结点有且仅有一个父结点
- 一颗N个结点的树有N-1条边
1.2 树的基础概念（重要）
- 结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6
- 树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6
- 叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶结点
- 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
- 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
- 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
- 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
- 树的高度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4
树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：
- 非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支结点
- 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
- 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
- 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
- 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
- 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林
1.3 树的表示形式（了解）
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法
class Node {
int value; // 树中存储的数据
Node firstChild; // 第一个孩子引用
Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}
1.4 树的应用
文件系统管理（目录和文件）
2. 二叉树（重点）
2.1 概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
- 或者为空
- 或者是由一个根节点加上两棵被称为左子树和右子树的二叉树组成
从上图可以看出：
- 二叉树不存在度大于2的结点
- 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：空树、只有根节点、只有左子树、只有右子树、左右子树均存在
2.2 两种特殊的二叉树
- 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是 2 k − 1 2^k -1 2k−1 ，则它就是满二叉树
- 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。从上到下，从左到右，依次存放，对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树
2.3 二叉树的性质
- 若规定根结点的层数为1，则一颗非空二叉树的第i层上最多有 2 i − 1 ( i > 0 ) 2^{i-1}(i>0) 2i−1(i>0)个结点
- 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 2 k − 1 ( k > = 0 ) 2^k-1(k>=0) 2k−1(k>=0)
- 对任何一棵二叉树，如果其叶结点个数为 n 0 n_0 n0，度为2的非叶结点个数为 n 2 n_2 n2，则有 n 0 = n 2 + 1 n_0 = n_2 + 1 n0=n2+1
- 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 l o g 2 ( n + 1 ) log_2(n+1) log2(n+1)上取整
- 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下、从左至右的顺序对所有结点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
- 若 i > 0 i>0 i>0,双亲序号： ( i − 1 ) / 2 (i-1)/2 (i−1)/2； i = 0 i=0 i=0，i为根节点编号，无双亲结点
- 若 2 i + 1 < n 2i+1
2i+1<n ,左孩子序号： 2 i + 1 2i+1 2i+1，否则无左孩子 - 若 2 i + 2 < n 2i+2
2i+2<n ,右孩子序号： 2 i + 2 2i+2 2i+2，否则无右孩子
1.某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A n
B n+1
C n-1
D n/2
3.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
A 383
B 384
C 385
D 386
4.一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（ ）
A 11
B 10
C 8
D 12
答案：
1.B
2.A
3.B
4.B
2.4 二叉树的存储
二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
顺序存储在下节介绍。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下
// 孩子表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
Node parent; // 当前节点的根节点
}
孩子双亲表示法后序在平衡树位置介绍，本文采用孩子表示法来构建二叉树
2.5 二叉树的基本操作
2.5.1 前置说明
在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在大家对二叉树结构掌握还不够深入，为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式
public class BinaryTree{
public static class BTNode{
BTNode left;
BTNode right;
int value;
BTNode(int value){
this.value = value;
}
}
private BTNode root;
public void createBinaryTree(){
BTNode node1 = new BTNode(1);
BTNode node1 = new BTNode(2);
BTNode node1 = new BTNode(3);
BTNode node1 = new BTNode(4);
BTNode node1 = new BTNode(5);
BTNode node1 = new BTNode(6);
root = node1;
node1.left = node2;
node2.left = node3;
node1.right = node4;
node4.left = node5;
node5.right = node6;
}
}
注意：上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解
再看二叉树基本操作前，再回顾下二叉树的概念，二叉树是：
- 空树
- 非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的
从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的
2.5.2 二叉树的遍历
- 前序遍历：根 --> 左子树 --> 右子树
- 中序遍历：左子树 --> 根 --> 右子树
- 后序遍历：左子树 --> 右子树 --> 根
- 层序遍历：从上到下，从左到右
遍历：沿着某条路径进行遍历
-
前中后序遍历
学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础
在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：
- NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树
- LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树
- LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点
public class BinaryTree { static class TreeNode { public char val; public TreeNode left; public TreeNode right; public TreeNode(char val) { this.val = val; } } //以穷举的方式创建一棵二叉树出来 public TreeNode creatTree() { TreeNode A = new TreeNode('A'); TreeNode B = new TreeNode('B'); TreeNode C = new TreeNode('C'); TreeNode D = new TreeNode('D'); TreeNode E = new TreeNode('E'); TreeNode F = new TreeNode('F'); TreeNode G = new TreeNode('G'); TreeNode H = new TreeNode('H'); A.left = B; A.right = C; B.left = D; B.right= E; C.left = F; C.right = G; E.right = H; return A; } // 前序遍历 void preOrder(TreeNode root){ if (root == null) { return;//空树是不需要遍历的 } System.out.print(root.val + " "); preOrder(root.left); preOrder(root.right); } // 中序遍历 void inOrder(TreeNode root) { if (root == null) { return;//空树是不需要遍历的 } inOrder(root.left); System.out.print(root.val + " "); inOrder(root.right); } // 后序遍历 void postOrder(TreeNode root) { if (root == null) { return;//空树是不需要遍历的 } postOrder(root.left); postOrder(root.right); System.out.print(root.val + " "); } }public class Test { public static void main(String[] args) { BinaryTree binaryTree = new BinaryTree(); BinaryTree.TreeNode root = binaryTree.creatTree(); binaryTree.preOrder(root); System.out.println(); binaryTree.inOrder(root); System.out.println(); binaryTree.postOrder(root); } }下面主要分析前序递归遍历，中序与后序图解类似，可自己动手绘制
前序遍历结果：1 2 3 4 5 6 中序遍历结果：3 2 1 5 4 6 后序遍历结果：3 1 5 6 4 1 -
层序遍历
层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历
【练习】请根据以上二叉树的三种遍历方式，给出以下二叉树的遍历结果：
前序遍历结果：ABDEHCFG
中序遍历结果：DBEHAFCG
后序遍历结果：DHEBFGCA
选择题
1.某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为(ABDHECFG)
A: ABDHECFG B: ABCDEFGH C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA
2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为()
A: E B: F C: G D: H
3.设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为()
A: adbce B: decab C: debac D: abcde
4.某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出(同一层从左到右)的序列为()
A: FEDCBA B: CBAFED C: DEFCBA D: ABCDEF
【参考答案】 1.A 2.A 3.D 4.A
2.5.3 二叉树的基本操作
// 获取树中节点的个数
int size(Node root);
// 获取叶子节点的个数
int getLeafNodeCount(Node root);
// 子问题思路-求叶子结点个数
// 获取第K层节点的个数
int getKLevelNodeCount(Node root,int k);
// 获取二叉树的高度
int getHeight(Node root);
// 检测值为value的元素是否存在
Node find(Node root, int val);
//层序遍历
void levelOrder(Node root);
// 判断一棵树是不是完全二叉树
boolean isCompleteTree(Node root);
import java.util.ArrayList;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;
import java.util.Queue;
public class BinaryTree {
class TreeNode{
public char val;
public TreeNode left;
public TreeNode right;
public TreeNode(char val) {
this.val = val;
}
}
/**
* 以穷举的方式
* 创建一棵二叉树 返回这棵树的根节点
* @return
*/
public TreeNode createTree(){
TreeNode A = new TreeNode('A');
TreeNode B = new TreeNode('B');
TreeNode C = new TreeNode('C');
TreeNode D = new TreeNode('D');
TreeNode E = new TreeNode('E');
TreeNode F = new TreeNode('F');
TreeNode G = new TreeNode('G');
TreeNode H = new TreeNode('H');
TreeNode root = A;
A.left = B;
A.right = C;
B.left = D;
B.right = E;
C.left = F;
C.right = G;
E.right = H;
return root;
}
/**
* 前序遍历
* @param root
*/
public void preOrder(TreeNode root){
if (root == null){
return;
}
System.out.print(root.val + " ");
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
}
/**
* 中序遍历
* @param root
*/
public void inOrder(TreeNode root){
if (root == null){
return;
}
inOrder(root.left);
System.out.print(root.val + " ");
inOrder(root.right);
}
/**
* 后序遍历
* @param root
*/
public void postOrder(TreeNode root){
if (root == null){
return;
}
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
System.out.print(root.val + " ");
}
public static int nodeSize;
/**
* 获取树中节点的个数：遍历思路
*/
public void size(TreeNode root){
if (root == null){
return;
}
nodeSize++;
size(root.left);
size(root.right);
}
/**
* 获取节点的个数：子问题的思路
* @param root
* @return
*/
public int size2(TreeNode root){
if (root == null){
return 0;
}
int tmp = size2(root.left) + size2(root.right) + 1;
return tmp;
}
public static int leafSize;
/**
* 获取叶子节点的个数：遍历思路
* @param root
*/
public void getLeafNodeCount1(TreeNode root){
if (root == null){
return;
}
if (root.left == null && root.right == null){
leafSize++;
return;
}
getLeafNodeCount1(root.left);
getLeafNodeCount1(root.right);
}
/**
* 获取叶子节点的个数：子问题
* @param root
* @return
*/
public int getLeafNodeCount2(TreeNode root){
if (root == null){
return 0 ;
}
if (root.left == null && root.right == null){
return 1;
}
int tmp =getLeafNodeCount2(root.left) + getLeafNodeCount2(root.right);
return tmp;
}
/**
* 获取第K层节点的个数
* @param root
* @param k
* @return
*/
public int getLevelNodeCount(TreeNode root, int k) {
if (root == null){
return 0;
}
if (k == 1){
return 1;
}
return getLevelNodeCount(root.left, k - 1) + getLevelNodeCount(root.right, k - 1);
}
/**
* 获取二叉树的高度
* 时间复杂度：O(N)
* @param root
* @return
*/
public int getHeight(TreeNode root) {
if (root == null){
return 0;
}
int leftHeight = getHeight(root.left);
int rightHeight = getHeight(root.right);
return Math.max(leftHeight,rightHeight) + 1;
}
public int getHeight2 (TreeNode root){
if(root == null) {
return 0;
}
int leftHeight = getHeight2(root.left);
int rightHeight = getHeight2(root.right);
return (leftHeight > rightHeight ? leftHeight : rightHeight) + 1;
}
public int getHeight3(TreeNode root) {
if(root == null) {
return 0;
}
return (getHeight3(root.left) > getHeight3(root.right)
? getHeight3(root.left) : getHeight3(root.right)) + 1;
}
/**
* 检测值为value的元素是否存在
* @param root
* @param val
* @return
*/
public TreeNode find(TreeNode root, char val){
if (root == null){
return null;
}
if (root.val == val){
return root;
}
TreeNode leftVal = find(root.left, val);
if (leftVal!=null){
return leftVal;
}
TreeNode rightVal = find(root.right, val);
if (rightVal!=null){
return rightVal;
}
return null;
}
/**
* 层序遍历
* @param root
*/
public void levelOrder(TreeNode root) {
if (root == null){
return;
}
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
while (!queue.isEmpty()){
TreeNode cur = queue.poll();
System.out.println(cur.val + "");
if (cur.left != null){
queue.offer(cur.left);
}
if (cur.right != null){
queue.offer(cur.right);
}
}
}
public List<List<Character>> levelOrder2(TreeNode root){
List<List<Character>> retList = new ArrayList<>();
if (root == null){
return retList;
}
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
while (!queue.isEmpty()){
int size = queue.size();
List<Character> list = new ArrayList<>();
while (size != 0){
TreeNode cur = queue.poll();
list.add(cur.val);
size--;
if (cur.left != null){
queue.offer(cur.left);
}
if (cur.right != null){
queue.offer(cur.right);
}
}
retList.add(0,list);
}
return retList;
}
/**
* 判断一棵树是不是完全二叉树
* @param root
* @return
*/
public boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
if (root == null){
return true;
}
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
while (!queue.isEmpty()){
TreeNode cur = queue.poll();
if (cur != null){
queue.offer(cur.left);
queue.offer(cur.right);
}else {
break;
}
}
while (!queue.isEmpty()){
TreeNode cur = queue.poll();
if (cur != null){
return false;
}
}
return true;
}
}