常微分方程的解题思路

通解：独立常数的个数等于微分方程的阶数，独立常数的个数实际上就是$c_1,c_2,...,c_n$是数目

所以补$C$也是关键的一步，而且未必是$+C$，也可以是$+\ln C$之类的，如下：

$$\ln |y|=\ln |x|-x+C\leftrightarrow \ln |y|=\ln |x|-x+\ln C$$

显然后者在处理时候方便，而且前者很可能化简到$y=e^{C}x{e}^{-x}$就停止了，然而这间接限制了$x$和$y$同号，是一个隐藏的错误

另一方面当$y=0$的情况也得考虑，此时带入上式依旧成立

写$C$时要注明$C$的范围，如：$C$是任意常数

一阶微分方程

显然，一阶微分方程的通解就只有一个$C$

变量可分离型

处理方法是放到等号两侧积回去，积回去的解有显式和隐式两种

$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\to \int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$$

$g(y)$处于分母可能会丢失$g(y)=0$的一个解。

可化为变量可分离型

对于$\frac{dy}{dx}=f(ax+by+c)$的形式，使用换元法，令$u=ax+by+c$

对$u=ax+by+c$两侧求导可得$\frac{du}{dx}=a+b\frac{dy}{dx}$，因为$\frac{dy}{dx}=f(u)$，所以这个式子可以写为$\frac{du}{dx}=a+bf(u)$，因此变成了$u$和$x$的微分方程

$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$则可得到$\frac{du}{\phi (u)-u}=\frac{dx}{x}$

注意$u$是关于$x$的函数，因此也要参与到对$x$的求导中来

一阶线性微分方程

我的另一篇博文：一阶线性微分方程计算公式推导

伯努利方程

形式是$y^{\prime }+p(x)y=q(x)y^n$

令$z=y^{1-n}$，最终处理式子如下：

$$\frac{1}{1-n}\cdot \frac{dz}{dx}+p(x)z=q(x)$$

二阶可降阶微分方程

主要是两种类型$y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$和$y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$

二阶先看有无$y$，无$y$考虑$y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$型，无$x$考虑$y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$型。都有则按后面高阶线性微分方程的方法处理

y’'=f(x)型

积分每求一次就得加一个$C$

例如$y^{\prime \prime }=x^2\to y^{\prime }=\frac{x^3}{3}+C_1\to y=\frac{1}{12}{x}^4+C_{1}x+C_2$

$y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$型

换元后比一阶多了一步积分

令$y^{\prime }=p(x)$则$y^{\prime \prime }=p^{\prime }(x)$，那么原式化为了$p^{\prime }=f(x,p)$，这就是上面的一阶微分方程，求出$p$和$x$的关系后由$y^{\prime }=p$积分得到。

若求的$y^{\prime }=p=\phi (x,c_1)$则原方程通解为$y=\int \phi (x,c_1)dx+c_2$

$y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$型

令$y^{\prime }=p(y)$则$y^{\prime \prime }=p^{\prime }(y)\cdot y^{\prime }$，这里要强调的是$y$是$x$的函数，所以这里按复合函数求导处理，由于$y^{\prime }=p(y)$故原式可以这样写：$y^{\prime \prime }=p^{\prime }(y)\cdot y^{\prime }=p^{\prime }(y)\cdot p(y)$，联系最初的式子可得$p^{\prime }\cdot p=f(y,p)$，这又是一个一阶微分方程，

$p^{\prime }=\frac{dp}{dy}$

高阶线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程的解

这里很多人的博客都提到看特征方程$r^2+pr+q=0$的特征根，但是都没说$r$到底是什么。

实际上特征方程中的$r$需要设解的形式为$y=e^{rx}$，试带入原方程得出$(r^2+pr+q)e^{rx}=0$，即需要判别特征方程$r^2+pr+q=0$的特征根。

注：复根的计算是$x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{4ac-b^2}}{2a}$

知乎 - 常系数二阶线性齐次微分方程的求解

图源自B站up：请叫我小陈老师

二阶常系数非齐次线性微分方程的解

看我的另外一篇文章：二阶常系数非齐次线性微分方程的解

视频讲解可以看源自B站up：请叫我小陈老师的二阶常系数非齐次线性微分方程（后面的图截取自视频）

自由项为$P_m(x)e^{ax}$大致过程：

1. 把$y$、$y^{\prime }$、$y^{\prime \prime }$这种用$0$、$r$、$r^2$换一下，然后求特征根。
2. 看右侧的自由项的$e^{\lambda x}$部分的$\lambda$是多少（然后发现$\lambda$等于$k$个特征根，$k$可能是$0、1、2$）
3. 然后根据原式$P_m(x)$是几次来定$Q_m(x)$，例如三次就写$a{x}^2+bx+c$

如果自由项为$e^{ax}[P_m(x)\cos \beta x+P_n(x)\sin \beta x]$则处理略有不同：

$n$阶

30J.L13.9

直接背过吧。主要思路就是根据特解在高阶的解的四种情况里代，寻找对应的情况

其他技法/提示/题目

自变量未必是$x$

30J.L13.5 伯努利方程

对式子$ydx=(1+x\ln y)xdy$的化简，其自变量实际上是$y$，如果按惯性思维根本化不出熟悉的形式。最终可以变形为$\frac{dx}{dy}-\frac{1}{y}x=\frac{\ln y}{y}{x}^2$，符合伯努利方程的$y^{\prime }+p(x)y=q(x)y^n$的形式

如果实在不直观，可以先写出相反形式的伯努利方程范式，即$x^{\prime }+p(y)x=q(y)x^n$

本质上就是对$y^{\prime }=dy/dx$取倒数，等式右侧也一样

是微分方程但不用求解

30J.L13.11

考的实际上是$y^{\prime \prime }$和函数极值的关系

变量代换

遇到实在看不出来属于哪个类型的就变量代换，如$y^{\prime }=\cos (x+y)$