【AcWing-Python-786】第k个数/快速选择算法

题目： https://www.acwing.com/problem/content/788/
对应视频讲解： https://www.acwing.com/video/228/

题目描述

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回顾快排

【AcWing-Python-785】快速排序 - CSDN博客

（一）步骤

1. 找到分界点x：可以是区间最左端点、区间最右端点、或区间中点

2. 将整个区间划分为两段，使得左边所有数Left ≤ x，右边所有数Right ≥ x【注意分界点位置的值不一定为x】

3. 递归排序Left，递归排序Right

（二）时间复杂度

排序的时间复杂度是O(n * logn)，快速排序的时间复杂度是O(n)

（三）与快选的联系

经过步骤1和2后，整个区间里，在分界点左边的数都≤x（假设长度为SL），右边的数都≥x（假设长度为SR）。现在想找到第k大的数

• 若 k ≤ SL，则整个区间第k小的数一定在左边，此时只需递归处理左边即可

• 若 k ＞SL，则整个区间第k小的数一定在右边，此时只需递归处理右边即可

快排需要递归左右两边，而快选只需要递归一边即可

快选的时间复杂度为O(n)

• 先对整个区间划分两部分，使左边都≤x，右边都≥x，这步需要扫描整个区间n，故为O(n)

• 根据第k小的数的k，与左边区间的长度SL的大小关系，判断是递归处理左边还是右边，只需扫描一半的区间即可，故为O(n/2)

• 以此类推，n + n/2 + n/4 + n/8 + ... = n (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...) ≤ 2n，故为O(2n)，因为常数不影响，故还是O(n)

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解题思路及代码

（一）思路

首先明确，第k大的数X在有序数组中的位置为k-1（i ∈ [0, n-1]）

采用快排分治思想，每次可只处理X所在的那一半区间，所以在进行快排找分界点时，找到此次递归的数组分界点j，将此次递归区间 [l, r] 分为 [l, j] 和 [j+1, r] 左右两个区间，并确定左右区间中的数，这些数在有序数组中也处于该区间，这样就可以根据j来确定k-1在左区间还是在右区间

• 如果 k - 1 <= j，说明k - 1在左区间，则递归处理左区间，舍去（不处理）右区间

• 反之如果k - 1 > j，说明k - 1在右区间，则递归处理右区间，舍去（不处理）左区间

不断递归，区间长度为1时，则找到了在有序数组中下标为k-1的数X

（二）代码

n, k = map(int, input().split())
nums = list(map(int, input().split()))

def quick_sort(arr, left, right):
    
    if left >= right:
        return
    
    i, j, x = left-1, right+1, arr[(left+right)//2]
    
    while i < j:
        i += 1
        j -= 1
        
        while arr[i]x:
            j -= 1
        
        if i j:
        quick_sort(arr, j+1, right)

quick_sort(nums, 0, n-1)
print(nums[k-1])