代码随想录算法训练营Day38|动态规划理论基础、509. 斐波那契数、70. 爬楼梯、746. 使用最小花费爬楼梯
目录
动态规划理论基础
什么是动态规划
动态规划的解题步骤
动态规划的debug
509. 斐波那契数
前言
思路
算法实现
方法一：动态规划
方法二：递归法
70. 爬楼梯
前言
思路
算法实现
拓展
746. 使用最小花费爬楼梯
算法实现
总结
动态规划理论基础
什么是动态规划
动态规划，英文名为Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的。
动态规划的解题步骤
代码随想录中总结了动态规划的五部曲：
- 确定dp数组以及下标的含义；
- 确定递推公式；文章链接
- dp数组如何初始化；
- 确定遍历顺序；
- 举例推导dp数组。
动态规划的debug
写动规题目，代码出问题很正常！找问题的最好方式就是把dp数组打印出来，看看究竟是不是按照自己思路推导的！
做动规的题目，写代码之前一定要把状态转移在dp数组的上具体情况模拟一遍，心中有数，确定最后推出的是想要的结果。然后再写代码，如果代码没通过就打印dp数组，看看是不是和自己预先推导的哪里不一样。如果打印出来和自己预先模拟推导是一样的，那么就是自己的递归公式、初始化或者遍历顺序有问题了。如果和自己预先模拟推导的不一样，那么就是代码实现细节有问题。
这样才是一个完整的思考过程，而不是一旦代码出问题，就毫无头绪的东改改西改改，最后过不了，或者说是稀里糊涂的过了。
509. 斐波那契数
题目链接
文章链接
前言
对于动规，如果没有方法论的话，可能简单题目可以顺手一写就过，难一点就不知道如何下手了。从一开始做题就按照动态规划的五部曲顺序来执行。
思路
按照动态规划五部曲来执行：
- 确定dp数组以及下标的含义：
dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数列值是dp[i]；
2.确定递推公式：
题目中已经给出递推公式：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]；
3.dp数组初始化：
题目同样已经给出：dp[0] = 0, dp[1] = 1;
4.确定遍历顺序：
前序遍历；
5.举例推导dp数组：
按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。
算法实现
方法一：动态规划
class Solution {
public:
int fib(int n) {
if (n <= 1) return n;
vector dp(n + 1);
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
}
}; 本题的dp实现很简单，因为题目信息已经给出递推公式和初始化值，也可以只维护dp数组前两个值，算法如下：
class Solution {
public:
int fib(int n) {
if (n <= 1) return n;
int dp[2];
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
int sum = dp[0] + dp[1];
dp[0] = dp[1];
dp[1] = sum;
}
return dp[1];
}
};方法二：递归法
还可以使用递归法进行实现，递归的实现较为简单，递归终止条件就是当n小于2。
class Solution {
public:
int fib(int n) {
if (n < 2) return n;
return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}
};70. 爬楼梯
题目链接
文章链接
前言
本题就没有像上一题一样直接给出递推公式，我们先自=自己举几个例子，就可以发现规律。
思路
按照题目条件爬到第一层楼梯有一种方法，爬到二层楼梯有两种方法。那么第一层楼梯再跨两步就到第三层 ，第二层楼梯再跨一步就到第三层。所以到第三层楼梯的状态可以由第二层楼梯 和 到第一层楼梯状态推导出来，那么就可以想到动态规划了。
利用动态规划五部曲来进行分析：
1.确定dp数组以及下标的含义：
dp[i]的含义是爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法；
2.确定递推公式：
从dp[i]的定义可以看出，dp[i] 可以有两个方向推出来：一个是dp[i - 1]，上i - 1层楼梯，已经有dp[i - 1]种方法，再跳一个台阶就是dp[i]；另一个是dp[i - 2]，上i - 2层楼梯，已经有dp[i - 2]种方法，那么再跳两个台阶就是dp[i]。因此dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和！
所以dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 。尤其注意在推导dp[i]的时候，一定要时刻想着dp[i]的定义，否则容易跑偏。这体现出确定dp数组以及下标的含义的重要性！
3.dp数组初始化：
需要注意的是：题目中说了n是一个正整数，题目根本就没说n有为0的情况。所以本题不需要讨论dp[0]的初始化，直接初始化dp[1] = 1，dp[2] = 2，然后从i = 3开始递推。
4.确定遍历顺序：
从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，遍历顺序一定是从前向后遍历的；
5.举例推导dp数组：
同上题思路一致。
算法实现
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
if (n <= 1) return n;
vector dp(n + 1);
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
for (int i = 3; i <= n; i++){
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
}
}; 同样也有简化算法，只维护dp数组前面几个元素：
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
if (n <= 1) return n;
int dp[3];
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
for (int i = 3; i <= n; i++){
int sum = dp[1] + dp[2];
dp[1] = dp[2];
dp[2] = sum;
}
return dp[2];
}
};拓展
一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，直到 m个台阶，有多少种方法爬到n阶楼顶？
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
vector dp(n + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
if (i - j >= 0) dp[i] += dp[i - j];
}
}
return dp[n];
}
}; 746. 使用最小花费爬楼梯
题目链接
文章链接
算法实现
class Solution {
public:
int minCostClimbingStairs(vector& cost) {
vector dp(cost.size() + 1);
dp[0] = 0;
dp[1] = 0;
for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) {
dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
}
return dp[cost.size()];
}
}; 简化之后：
class Solution {
public:
int minCostClimbingStairs(vector& cost) {
int dp[2];
dp[0] = 0;
dp[1] = 0;
for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) {
int dpi = min(dp[0] + cost[i - 2], dp[1] + cost[i - 1]);
dp[0] = dp[1];
dp[1] = dpi;
}
return dp[1];
}
}; 总结
今天了解了动态规划的理论以及较简单题目的实现，在练习过程中熟悉了动态规划五部曲的使用，感觉非常实用！