偶次非球面曲线拟合

偶次非球面曲线拟合

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前言

偶次非球面为旋转对称面，所以只需要得到一个截面上的离散点进行矢高公式的曲线拟合即可，然后将曲线旋转对称得到面型，或者将参数导入光学软件中得到透镜面。

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一、矢高公式

以下公式为偶次非球面的矢高公式，z为矢高，r为截面到轴的距离，c为非球面的曲率，k为圆锥系数，ai为偶次非球面的 i 阶系数。
以下为某偶次非球面截面矢高图。
在已知离散点的情况下，我们相当于已知z和r的对应关系，需要得到的是k、c、ai的值。

二、曲线拟合

以下为参考代码：

% 非线性拟合P
% 实际曲线绘图
subplot(1,2,1);
plot(P(:,2),P(:,1));hold on;
% 拟合方程
digits(8)
Py = P(:,1);Pz = P(:,2);
% 系数矩阵a，a1设定为k，其余对应，a7设定为c，就是曲率
fun = @(a,Py)(a(7)*Py.^2./(1+sqrt(1-(1+a(1))*a(7)^2*Py.^2))+a(2)*Py.^4+a(3)*Py.^6+a(4)*Py.^8+ ...
    a(5)*Py.^10+a(6)*Py.^12)% 偶次非球面矢高
a0 = [0,0,0,0,0,0,0];
a = lsqcurvefit(fun,a0,Py,Pz)
z = fun(a,Py);
plot(z,Py);   

• P为离散点坐标矩阵，一共有n行2列。第一列为离散点坐标的y（可视为r），第二列为离散点坐标的z（即矢高）。
• 分别用Py和Pz来存储坐标数据，同时在写矢高方程“fun”时，通过@()来定义参数数组a和自变量Py，a为需要通过拟合得到的方程参数（可以参看代码中的注释），然后@()后的式子为非球面矢高方程，如果你要拟合其他方程，一样也是改。
• a0为参数数组a的初始值，即在非线性拟合迭代过程中，默认从a0设定的值开始计算。
• 然后使用 lsqcurvefit（）函数进行拟合，可以得到参数矩阵a的值，然后将已知的参数矩阵a和Py带入矢高方程中，得到拟合的坐标点进行绘图。（还有其他拟合函数，可以参看help文档）

结果如下图：