力扣Leetcode：279. 完全平方数

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解法一：动态规划

解法二：四平方和定理

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解法一：动态规划

对于一个数n来说，要求完全平方数的数量，它的完全平方数必然在区间  （根号下n需要向下取整）。那么对于在这个区间内的数 m，必然满足

在这种情况下，n的完全平方数的数量（用 f(n) 表示）为：

要求最少的数量，那就要比较这个区间里的所有元素，找出一个最少的来，所以，令表示正整数n的最少数量的完全平方和。则

其中m=sqrt(n)向下取整。

c++代码：

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        int f[n+1];
        memset(f,0, sizeof(f));
        f[0] = 0;
        f[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            int m = sqrt(i);
            int min = 9999;
            for(int j = 1; j <= m; j++){
                int tmp = f[i-j*j] + 1;
                if(min > tmp){
                    min = tmp;
                }
            }
            f[i] = min;
        }
        return f[n];
    }
};

 

解法二：四平方和定理

定理内容：每个正整数均可表示成不超过四个整数的平方之和。

重要的推论：一个正整数 n， 如果只能被表示成四个整数的平方和，必定满足：

定理的证明：https://zhuanlan.zhihu.com/p/104030654

定理的内容以及推论：https://blog.csdn.net/l_mark/article/details/89044137

解决方案：

要求最少数量，根据分析只存在四种情况，最少数量m = 1，2，3，4。

1. 判断m=1的情况，也就是n=a*a。
2. 判断m=4的情况，也就是判断式子是否成立。
3. 判断m=2的情况，也就是n=a*a+b*b。遍历区间1 <= i <= sqrt(n)，判断n-i*i是否是完全平方数，如果是，则m=2。
4. 其余情况，m=3。

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        int t = sqrt(n);
        if(t*t == n) return 1; //判断m=1
        t = n;
        while(t % 4 == 0){
            t = t / 4;
        }
        t = t % 8;
        if(t == 7) return 4; //判断m=4
        int m = sqrt(n);
        for(int i = 1; i <= m; i++){
            int a = i * i; 
            int b = sqrt(n-a);
            if(b*b == (n-a)) return 2; //判断m=3
        }
        return 3; //其余情况m=3
    }
};

下面是执行记录，第一个是解法二的，第二个是解法一的。