unitary MUSIC 算法

unitary MUSIC 算法

  论文 A Unitary Transformation Method for Angle-of-Arrival Estimation 中提出了 unitary MUSIC 的算法,直译就是酉 MUSIC 算法,即酉变换 MUSIC 算法。该算法的目的是简化计算复杂度,将传统 MUSIC 算法中的复数 SVD 和复数网格搜索计算转化为实数计算。在学习 unitary MUSIC 之前需要理解 Hermitian 矩阵及 Persymmetric 矩阵的概念及性质:

  1. Hermitian 矩阵指的是满足 A H = A \mathbf{A}^H = \mathbf{A} AH=A 的矩阵 A \mathbf{A} A
  2. Persymmetric 矩阵指的是满足 A J = J A T \mathbf{A}\mathbf{J} = \mathbf{J}\mathbf{A}^T AJ=JAT 的矩阵 A \mathbf{A} A,其中 J \mathbf{J} J 其对角线从左下至右上,很多地方又称 J \mathbf{J} J 为选择矩阵。
  3. 假若矩阵 A \mathbf{A} A 既为 Hermitian 矩阵又为 Persymmetric 矩阵,则满足:
    J A ∗ J = A \mathbf{J}\mathbf{A}^*\mathbf{J}=\mathbf{A} JAJ=A
    其中 A ∗ \mathbf{A}^* A A \mathbf{A} A 的共轭。

  在接下来的讨论中, I \mathbf{I} I J \mathbf{J} J 分别用作表示单位矩阵和选择矩阵,下文中将会出现这两种矩阵的运算,例如 A I \mathbf{A}\mathbf{I} AI J B \mathbf{J}\mathbf{B} JB,设 A \mathbf{A} A B \mathbf{B} B 均为方阵,如果没有特别强调,则说明 I \mathbf{I} I J \mathbf{J} J 分别和 A \mathbf{A} A B \mathbf{B} B 同维度。

算法原理

  前面讨论的子空间算法中,复协方差矩阵的特征值分解是至关重要的一步,然而该步的计算量很高。为了降低计算量,unitary MUSIC 算法考虑利用一个酉矩阵将原先的复协方差矩阵 R \mathbf{R} R 转换成实协方差矩阵,同时传统算法中的复空间搜索向量 a ( θ ) \mathbf{a}(\theta) a(θ) 也用实向量来代替。
  unitary MUSIC 算法的提出基于一个性质,即若不相关的窄带远场信号源射入均匀线阵中,其协方差矩阵不仅是 Hermitian,且 Persymmetric。通常估计的协方差矩阵 R ≜ R ^ \mathbf{R}\triangleq \hat{\mathbf{R}} RR^ 仅仅只是 Hermitian 矩阵但不满足 Persymmetric 性质,需要先获得一个满足 Persymmetric 性质的估计协方差矩阵:
R ≜ 1 2 ( R ^ + J R ^ ∗ J ) \begin{equation*} \mathbf{R}\triangleq \frac{1}{2}(\hat{\mathbf{R}}+ \mathbf{J}\hat{\mathbf{R}}^*\mathbf{J}) \end{equation*} R21(R^+JR^J)
  假设阵元数 M M M 为偶数,unitary MUSIC 算法引入了一个酉矩阵 Q ∈ C M × M \mathbf{Q}\in\mathbb{C}^{M\times M} QCM×M
Q = 1 2 [ I J j J − j I ] \mathbf{Q} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} \mathbf{I} & \mathbf{J} \\ \mathrm{j}\mathbf{J} & -\mathrm{j}\mathbf{I} \end{bmatrix} Q=2 1[IjJJjI]
其中 I \mathbf{I} I J \mathbf{J} J 分别为单位矩阵和选择矩阵,且该两个矩阵维度均为 M 2 × M 2 \frac{M}{2}\times \frac{M}{2} 2M×2M。易得 Q \mathbf{Q} Q 为酉矩阵,即 Q − 1 = Q H \mathbf{Q}^{-1} = \mathbf{Q}^H Q1=QH,同时满足:
Q ∗ J = Q \mathbf{Q}^*\mathbf{J} = \mathbf{Q} QJ=Q
  至此到了本算法的关键,它在于证明由于 R \mathbf{R} R 是 Hermitian 且 Persymmetric 矩阵, Q R Q H \mathbf{Q}\mathbf{R}\mathbf{Q}^H QRQH 是实对称矩阵

因为 R \mathbf{R} R 为 Hermitian,易得 Q R Q H \mathbf{Q}\mathbf{R}\mathbf{Q}^H QRQH 为 Hermitian;因此只需要证明 Q R Q H \mathbf{Q}\mathbf{R}\mathbf{Q}^H QRQH 是实矩阵,即证明 ( Q R Q H ) ∗ = Q R Q H (\mathbf{Q}\mathbf{R}\mathbf{Q}^H)^* = \mathbf{Q}\mathbf{R}\mathbf{Q}^H (QRQH)=QRQH
( Q R Q H ) ∗ = Q ∗ R ∗ Q T = ( Q ∗ J ) ( J R ∗ J ) ( J Q T ) = Q R Q H \begin{equation*} \begin{aligned} &(\mathbf{Q}\mathbf{R}\mathbf{Q}^H)^* \\ = &\mathbf{Q}^*\mathbf{R}^*\mathbf{Q}^T \\ = &(\mathbf{Q}^*\mathbf{J})(\mathbf{J}\mathbf{R}^*\mathbf{J})(\mathbf{J}\mathbf{Q}^T)\\ = &\mathbf{Q}\mathbf{R}\mathbf{Q}^H \end{aligned} \end{equation*} ===(QRQH)QRQT(QJ)(JRJ)(JQT)QRQH
由此得证。

  综上所述,unitary MUSIC 算法引入酉矩阵 Q \mathbf{Q} Q 并令 R ≜ Q R Q H \mathbf{R}\triangleq\mathbf{Q}\mathbf{R}\mathbf{Q}^H RQRQH,使得酉变换后的协方差矩阵变为实对称矩阵,接着对其特征值分解即可进行后续的搜索步骤。而 ULA 的搜索方向矢量为:
a ( θ ) = [ 1 , e − j 2 π d sin ⁡ θ / λ , ⋯   , e − j ( M − 1 ) 2 π d sin ⁡ θ / λ ] T \mathbf{a}(\theta) = \left[1, e^{-\mathrm{j}2\pi d\sin\theta/\lambda},\cdots,e^{-\mathrm{j}(M-1)2\pi d\sin\theta/\lambda}\right]^T a(θ)=[1,ej2πdsinθ/λ,,ej(M1)2πdsinθ/λ]T
则 unitary MUSIC 算法的搜索方向矢量为 a ( θ ) ≜ Q a ( θ ) \mathbf{a}(\theta)\triangleq\mathbf{Q}\mathbf{a}(\theta) a(θ)Qa(θ)
  为了进一步降低算法计算复杂度,Unitary MUSIC 算法考虑将搜索方向矢量也用实变量代替,做法如下:
a ( θ ) ≜ e j M − 1 2 2 π d sin ⁡ θ / λ Q a ( θ ) = Q [ e j M − 1 2 2 π d sin ⁡ θ / λ , ⋯   , e j 1 2 2 π d sin ⁡ θ / λ , e − j 1 2 2 π d sin ⁡ θ / λ , ⋯   , e − j M − 1 2 2 π d sin ⁡ θ / λ ] T \begin{aligned} \mathbf{a}(\theta) &\triangleq e^{j\frac{M-1}{2}2\pi d\sin\theta/\lambda}\mathbf{Q}\mathbf{a}(\theta) \\ &= \mathbf{Q}\left[e^{\mathrm{j}\frac{M-1}{2}2\pi d\sin\theta/\lambda},\cdots, e^{\mathrm{j}\frac{1}{2}2\pi d\sin\theta/\lambda},e^{-\mathrm{j}\frac{1}{2}2\pi d\sin\theta/\lambda},\cdots,e^{-\mathrm{j}\frac{M-1}{2}2\pi d\sin\theta/\lambda}\right]^T \end{aligned} a(θ)ej2M12πdsinθ/λQa(θ)=Q[ej2M12πdsinθ/λ,,ej212πdsinθ/λ,ej212πdsinθ/λ,,ej2M12πdsinθ/λ]T
不难看出原方向矢量对应的阵列索引位置为 { 0 , 1 , ⋯   , M − 1 } \{0,1,\cdots,M-1\} {0,1,,M1},而更新后方向矢量对应的阵列索引位置为 { − M − 1 2 , − M − 3 2 , ⋯   , − 1 2 , 1 2 , ⋯   , M − 3 2 , M − 1 2 } \{-\frac{M-1}{2},-\frac{M-3}{2},\cdots,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\cdots,\frac{M-3}{2},\frac{M-1}{2}\} {2M1,2M3,,21,21,,2M3,2M1}。此时 unitary MUSIC 算法的搜索方向矢量更新为:
a ‾ ( θ ) = e j M − 1 2 2 π d sin ⁡ θ / λ Q a ( θ ) = 2 [ cos ⁡ ( M − 1 2 2 π d sin ⁡ θ / λ ) ⋮ cos ⁡ ( 1 2 2 π d sin ⁡ θ / λ ) sin ⁡ ( − 1 2 2 π d sin ⁡ θ / λ ) ⋮ sin ⁡ ( − M − 1 2 2 π d sin ⁡ θ / λ ) ] \begin{aligned} \overline{\mathbf{a}}(\theta)&= e^{\mathrm{j}\frac{M-1}{2}2\pi d\sin\theta/\lambda}\mathbf{Q}\mathbf{a}(\theta) \\ &= \sqrt{2} \begin{bmatrix} \cos\left(\frac{M-1}{2}2\pi d\sin\theta/\lambda\right) \\ \vdots \\ \cos\left(\frac{1}{2}2\pi d\sin\theta/\lambda\right) \\ \sin\left(-\frac{1}{2}2\pi d\sin\theta/\lambda\right) \\ \vdots \\ \sin\left(-\frac{M-1}{2}2\pi d\sin\theta/\lambda\right) \end{bmatrix} \end{aligned} a(θ)=ej2M12πdsinθ/λQa(θ)=2 cos(2M12πdsinθ/λ)cos(212πdsinθ/λ)sin(212πdsinθ/λ)sin(2M12πdsinθ/λ)
  当 M M M 为奇数时,酉矩阵 Q \mathbf{Q} Q 的形式为:
Q = 1 2 [ I O J O T 2 O T j J O − j I ] \mathbf{Q} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} \mathbf{I} & \mathbf{O} & \mathbf{J} \\ \mathbf{O}^T & \sqrt{2} & \mathbf{O}^T \\ \mathrm{j}\mathbf{J} & \mathbf{O} & -\mathrm{j}\mathbf{I} \end{bmatrix} Q=2 1 IOTjJO2 OJOTjI
其中 O \mathbf{O} O 为零矩阵。

进一步理解

  在上一小节中,我整理了论文对于 unitary MUSIC 算法的解释及证明,其核心思想在于酉矩阵 Q \mathbf{Q} Q 的提出。在本小节中,我将进一步对 Q \mathbf{Q} Q 的作用谈谈自己的理解。
  在论文中,unitary 算法一直强调 R \mathbf{R} R 的 Hermitian 及 Persymmetric 性质,因为假若 R \mathbf{R} R 不满足这两个性质, Q R Q H \mathbf{Q}\mathbf{R}\mathbf{Q}^H QRQH 将不是实矩阵,但是利用 R e ( Q R Q H ) \mathrm{Re}(\mathbf{Q}\mathbf{R}\mathbf{Q}^H) Re(QRQH) 来进行后续的估计其实是可以估计角度的。假设 M = 4 M=4 M=4 φ = 2 π d sin ⁡ θ / λ \varphi = 2\pi d \sin\theta/\lambda φ=2πdsinθ/λ,展开 Q a ( θ ) \mathbf{Q}\mathbf{a}(\theta) Qa(θ)
Q a ( θ ) = 2 [ 1 0 0 1 0 1 1 0 0 j − j 0 j 0 0 − j ] [ 1 e − j φ e − j 2 φ e − j 3 φ ] = 2 [ 1 + e − j 3 φ e − j φ + e − j 2 φ j ( e − j φ − e − j 2 φ ) j ( 1 − e − j 3 φ ) ] = 2 e − j 3 2 φ [ e j 3 2 φ + e − j 3 2 φ e j 1 2 φ + e − j 1 2 φ j ( e j 1 2 φ − e − j 1 2 φ ) j ( e j 3 2 φ − e − j 3 2 φ ) ] = 2 e − j 3 2 φ [ cos ⁡ ( 3 2 φ ) cos ⁡ ( 1 2 φ ) sin ⁡ ( − 1 2 φ ) sin ⁡ ( − 3 2 φ ) ] = e − j 3 2 φ a ‾ ( θ ) \begin{aligned} \mathbf{Q}\mathbf{a}(\theta) &= \sqrt{2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & \mathrm{j} & -\mathrm{j} & 0 \\ \mathrm{j} & 0 & 0 & -\mathrm{j} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ e^{-\mathrm{j}\varphi}\\ e^{-\mathrm{j}2\varphi}\\ e^{-\mathrm{j}3\varphi} \end{bmatrix} \\ &=\sqrt{2}\begin{bmatrix} 1 + e^{-\mathrm{j}3\varphi}\\ e^{-\mathrm{j}\varphi} + e^{-\mathrm{j}2\varphi}\\ \mathrm{j}(e^{-\mathrm{j}\varphi} - e^{-\mathrm{j}2\varphi})\\ \mathrm{j}(1 - e^{-\mathrm{j}3\varphi}) \end{bmatrix}\\ &=\sqrt{2}e^{-\mathrm{j}\frac{3}{2}\varphi}\begin{bmatrix} e^{\mathrm{j}\frac{3}{2}\varphi} + e^{-\mathrm{j}\frac{3}{2}\varphi}\\ e^{\mathrm{j}\frac{1}{2}\varphi} + e^{-\mathrm{j}\frac{1}{2}\varphi}\\ \mathrm{j}(e^{\mathrm{j}\frac{1}{2}\varphi} - e^{-\mathrm{j}\frac{1}{2}\varphi})\\ \mathrm{j}(e^{\mathrm{j}\frac{3}{2}\varphi} - e^{-\mathrm{j}\frac{3}{2}\varphi}) \end{bmatrix}\\ &=\sqrt{2}e^{-\mathrm{j}\frac{3}{2}\varphi}\begin{bmatrix} \cos(\frac{3}{2}\varphi) \\ \cos(\frac{1}{2}\varphi) \\ \sin(-\frac{1}{2}\varphi) \\ \sin(-\frac{3}{2}\varphi) \end{bmatrix}\\ &=e^{-\mathrm{j}\frac{3}{2}\varphi}\overline{\mathbf{a}}(\theta) \end{aligned} Qa(θ)=2 100j01j001j0100j 1ejφej2φej3φ =2 1+ej3φejφ+ej2φj(ejφej2φ)j(1ej3φ) =2 ej23φ ej23φ+ej23φej21φ+ej21φj(ej21φej21φ)j(ej23φej23φ) =2 ej23φ cos(23φ)cos(21φ)sin(21φ)sin(23φ) =ej23φa(θ)
  至此可以得到 Q a ( θ ) = e − j M − 1 2 φ a ‾ ( θ ) \mathbf{Q}\mathbf{a}(\theta)=e^{-\mathrm{j}\frac{M-1}{2}\varphi}\overline{\mathbf{a}}(\theta) Qa(θ)=ej2M1φa(θ),进一步我们可以得到:
Q A = e − j M − 1 2 φ A ‾ \mathbf{Q}\mathbf{A}=e^{-\mathrm{j}\frac{M-1}{2}\varphi}\overline{\mathbf{A}} QA=ej2M1φA
其中 A ‾ ∈ R M × K \overline{\mathbf{A}}\in\mathbb{R}^{M\times K} ARM×K 是由 K K K 个形如 a ‾ ( θ ) \overline{\mathbf{a}}(\theta) a(θ) 的实向量组成的矩阵。最后一步,我们可以得到:
Q R Q H = ( e − j M − 1 2 φ A ‾ ) R s ( e j M − 1 2 φ A ‾ T ) = A ‾ R s A ‾ T \begin{aligned} \mathbf{Q}\mathbf{R}\mathbf{Q}^H&=\left(e^{-\mathrm{j}\frac{M-1}{2}\varphi}\overline{\mathbf{A}}\right)\mathbf{R}_s\left(e^{\mathrm{j}\frac{M-1}{2}\varphi}\overline{\mathbf{A}}^T\right)\\ &=\overline{\mathbf{A}}\mathbf{R}_s\overline{\mathbf{A}}^T \end{aligned} QRQH=(ej2M1φA)Rs(ej2M1φAT)=ARsAT
因此有 R e ( Q R Q H ) = A ‾ R e ( R s ) A ‾ T \mathrm{Re}(\mathbf{Q}\mathbf{R}\mathbf{Q}^H) = \overline{\mathbf{A}}\mathrm{Re}(\mathbf{R}_s)\overline{\mathbf{A}}^T Re(QRQH)=ARe(Rs)AT,不难看出即使 R \mathbf{R} R 不满足 Hermitian 及 Persymmetric 性质,仍然不会破坏正交性。
  总的来说, Q \mathbf{Q} Q 的作用就是使得方向矢量转为实向量,如此便可以利用协方差矩阵的实部进行后续的计算。

算法步骤

  unitary MUSIC 算法步骤如下(输入为阵列接收矩阵 X \mathbf{X} X):

  1. 计算协方差矩阵 R = 1 T X X H \mathbf{R} = \frac{1}{T} \mathbf{X}\mathbf{X}^H R=T1XXH 和酉矩阵 Q \mathbf{Q} Q,接着以 R ≜ Q R Q H \mathbf{R}\triangleq\mathbf{Q}\mathbf{R}\mathbf{Q}^H RQRQH 更新协方差矩阵。
  2. R \mathbf{R} R 进行特征值分解,并对特征值进行排序,然后取得 M − K M-K MK 个较小特征值对应的特征向量来组成噪声子空间 U n \mathbf{U}_n Un
  3. 以下式遍历 θ ∈ [ − 9 0 ∘ , 9 0 ∘ ] \theta \in [-90^{\circ}, 90^{\circ}] θ[90,90]
    P ( θ ) = 1 a ‾ H ( θ ) U n U n T a ‾ ( θ ) \begin{equation*} P(\theta) = \frac{1}{\overline{\mathbf{a}}^H(\theta)\mathbf{U}_n\mathbf{U}_n^T\overline{\mathbf{a}}(\theta)} \end{equation*} P(θ)=aH(θ)UnUnTa(θ)1
    此时得到一组 P ( θ ) P(\theta) P(θ) K K K 个最大值对应的 θ \theta θ 就是需要返回的结果。

代码实现

clear; close all; clc;

%% Parameters
lambda     = 3e8/1e9;         % wavelength, c/f
d          = lambda/4;        % distance between sensors
theta      = [10,20];         % true DoAs, 1 times K vector
theta      = sort(theta);
M          = 16;              % # of sensors
T          = 500;             % # of snapshots
K          = length(theta);   % # of signals
noise_flag = 1;
SNR        = 0;               % signal-to-noise ratio
grid       = 0.1;             % search grid

%% Signals
R = generateSignal(M,K,T,theta,lambda,d,noise_flag,SNR);

%% DoA 
% unitary-MUSIC
[theta_unitary_music,P_unitary_music] = unitaryMUSIC(R,M,K,lambda,d,grid);

%% plot
figure;
hold on;
ang_list = -90:grid:90;
plot(ang_list, P_unitary_music);
hold off;

function [R,X,A,S] = generateSignal(M,K,T,theta,lambda,d,noise_flag,SNR)
    S = exp(1j*2*pi*randn(K,T)); % signal matrix
    A = exp(-1j*(0:M-1)'*2*pi*d/lambda*sind(theta)); % steering vector matrix
    N = noise_flag.*sqrt(10.^(-SNR/10))*(1/sqrt(2))*(randn(M,T)+1j*randn(M,T)); % noise matrix
    X = A*S+N; % received matrix
    R = X*X'/T; % covariance matrix
end

function [theta,P] = unitaryMUSIC(R,M,K,lambda,d,grid)
    M_half = floor(M/2);
    O = zeros(M_half,1);
    I = eye(M_half);
    J = fliplr(I);
    if mod(M,2) == 0
        Q = [I,J;1j*J,-1j*I]./sqrt(2);
    else
        Q = [I,O,J;O',sqrt(2),O';1j*J,O,-1j*I]./sqrt(2);
    end
    R = real(Q*R*Q');
    [U,~] = svd(R);
    Un = U(:, K+1:M);

    a_list = exp(-1j*(0:M-1).'*2*pi*d/lambda*sind(-90:grid:90));
    a_list = a_list.*exp(1j*(M-1)*ones(M,1)*pi*d/lambda*sind(-90:grid:90));
    a_list = real(Q*a_list);
    P = arrayfun(@(i) 1/norm(Un'*a_list(:,i),'fro'),1:size(a_list,2)); % spectral spectrum grid search
    P = 10*log10(P./max(P));

    [~, idx] = findpeaks(P,'NPeaks',K,'SortStr','descend'); % find K peaks
    theta = sort((idx-1)*grid-90);
end

参考内容

  1. Huarng K C, Yeh C C. A unitary transformation method for angle-of-arrival estimation[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 1991, 39(4): 975-977.
  2. 【wikipedia】Persymmetric matrix
  3. 【wikipedia】Hermitian matrix

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