unitary MUSIC 算法

unitary MUSIC 算法

  论文 A Unitary Transformation Method for Angle-of-Arrival Estimation 中提出了 unitary MUSIC 的算法，直译就是酉 MUSIC 算法，即酉变换 MUSIC 算法。该算法的目的是简化计算复杂度，将传统 MUSIC 算法中的复数 SVD 和复数网格搜索计算转化为实数计算。在学习 unitary MUSIC 之前需要理解 Hermitian 矩阵及 Persymmetric 矩阵的概念及性质：

1. Hermitian 矩阵指的是满足 ${\mathbf{A}}^H=\mathbf{A}$ 的矩阵 $\mathbf{A}$；
2. Persymmetric 矩阵指的是满足 $\mathbf{AJ}=\mathbf{J}{\mathbf{A}}^T$ 的矩阵 $\mathbf{A}$，其中 $\mathbf{J}$ 其对角线从左下至右上，很多地方又称 $\mathbf{J}$ 为选择矩阵。
3. 假若矩阵 $\mathbf{A}$ 既为 Hermitian 矩阵又为 Persymmetric 矩阵，则满足：
   $$\mathbf{J}{\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{J}=\mathbf{A}$$
   其中 ${\mathbf{A}}^{\ast }$ 为 $\mathbf{A}$ 的共轭。

  在接下来的讨论中，$\mathbf{I}$ 和 $\mathbf{J}$ 分别用作表示单位矩阵和选择矩阵，下文中将会出现这两种矩阵的运算，例如 $\mathbf{AI}$ 或 $\mathbf{JB}$，设 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 均为方阵，如果没有特别强调，则说明 $\mathbf{I}$ 和 $\mathbf{J}$ 分别和 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 同维度。

算法原理

  前面讨论的子空间算法中，复协方差矩阵的特征值分解是至关重要的一步，然而该步的计算量很高。为了降低计算量，unitary MUSIC 算法考虑利用一个酉矩阵将原先的复协方差矩阵 $\mathbf{R}$ 转换成实协方差矩阵，同时传统算法中的复空间搜索向量 $\mathbf{a}(\theta )$ 也用实向量来代替。
  unitary MUSIC 算法的提出基于一个性质，即若不相关的窄带远场信号源射入均匀线阵中，其协方差矩阵不仅是 Hermitian，且 Persymmetric。通常估计的协方差矩阵 $\mathbf{R}\triangleq \hat{\mathbf{R}}$ 仅仅只是 Hermitian 矩阵但不满足 Persymmetric 性质，需要先获得一个满足 Persymmetric 性质的估计协方差矩阵：
$$\begin{array}{c}\mathbf{R}\triangleq \frac{1}{2}(\hat{\mathbf{R}}+\mathbf{J}{\hat{\mathbf{R}}}^{\ast }\mathbf{J})\end{array}$$
  假设阵元数 $M$ 为偶数，unitary MUSIC 算法引入了一个酉矩阵 $\mathbf{Q}\in {\mathbb{C}}^{M\times M}$：
$$\mathbf{Q}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}\mathbf{I}& \mathbf{J}\\ \mathrm{j}\mathbf{J}& -\mathrm{j}\mathbf{I}\end{array}\right]$$
其中 $\mathbf{I}$ 和 $\mathbf{J}$ 分别为单位矩阵和选择矩阵，且该两个矩阵维度均为 $\frac{M}{2}\times \frac{M}{2}$。易得 $\mathbf{Q}$ 为酉矩阵，即 ${\mathbf{Q}}^{-1}={\mathbf{Q}}^H$，同时满足：
$${\mathbf{Q}}^{\ast }\mathbf{J}=\mathbf{Q}$$
  至此到了本算法的关键，它在于证明由于 $\mathbf{R}$ 是 Hermitian 且 Persymmetric 矩阵，$\mathbf{QR}{\mathbf{Q}}^H$ 是实对称矩阵：

因为 $\mathbf{R}$ 为 Hermitian，易得 $\mathbf{QR}{\mathbf{Q}}^H$ 为 Hermitian；因此只需要证明 $\mathbf{QR}{\mathbf{Q}}^H$ 是实矩阵，即证明 $(\mathbf{QR}{\mathbf{Q}}^H{)}^{\ast }=\mathbf{QR}{\mathbf{Q}}^H$：
$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}& (\mathbf{QR}{\mathbf{Q}}^H{)}^{\ast }\\ =& {\mathbf{Q}}^{\ast }{\mathbf{R}}^{\ast }{\mathbf{Q}}^T\\ =& ({\mathbf{Q}}^{\ast }\mathbf{J})(\mathbf{J}{\mathbf{R}}^{\ast }\mathbf{J})(\mathbf{J}{\mathbf{Q}}^T)\\ =& \mathbf{QR}{\mathbf{Q}}^H\end{array}\end{array}$$
由此得证。

  综上所述，unitary MUSIC 算法引入酉矩阵 $\mathbf{Q}$ 并令 $\mathbf{R}\triangleq \mathbf{QR}{\mathbf{Q}}^H$，使得酉变换后的协方差矩阵变为实对称矩阵，接着对其特征值分解即可进行后续的搜索步骤。而 ULA 的搜索方向矢量为：
$$\mathbf{a}(\theta )={\left[1,e^{-\mathrm{j}2\pi d\sin \theta /\lambda },\cdots ,e^{-\mathrm{j}(M-1)2\pi d\sin \theta /\lambda }\right]}^T$$
则 unitary MUSIC 算法的搜索方向矢量为 $\mathbf{a}(\theta )\triangleq \mathbf{Qa}(\theta )$。
  为了进一步降低算法计算复杂度，Unitary MUSIC 算法考虑将搜索方向矢量也用实变量代替，做法如下：
$$\begin{array}{rl}\mathbf{a}(\theta )& \triangleq e^{j\frac{M-1}{2}2\pi d\sin \theta /\lambda }\mathbf{Qa}(\theta )\\ & =\mathbf{Q}{\left[e^{\mathrm{j}\frac{M-1}{2}2\pi d\sin \theta /\lambda },\cdots ,e^{\mathrm{j}\frac{1}{2}2\pi d\sin \theta /\lambda },e^{-\mathrm{j}\frac{1}{2}2\pi d\sin \theta /\lambda },\cdots ,e^{-\mathrm{j}\frac{M-1}{2}2\pi d\sin \theta /\lambda }\right]}^T\end{array}$$
不难看出原方向矢量对应的阵列索引位置为 $\{0,1,\cdots ,M-1\}$，而更新后方向矢量对应的阵列索引位置为 $\{-\frac{M-1}{2},-\frac{M-3}{2},\cdots ,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\cdots ,\frac{M-3}{2},\frac{M-1}{2}\}$。此时 unitary MUSIC 算法的搜索方向矢量更新为：
a ‾ ( θ ) = e j M − 1 2 2 π d sin ⁡ θ / λ Q a ( θ ) = 2 [ cos ⁡ ( M − 1 2 2 π d sin ⁡ θ / λ ) ⋮ cos ⁡ ( 1 2 2 π d sin ⁡ θ / λ ) sin ⁡ ( − 1 2 2 π d sin ⁡ θ / λ ) ⋮ sin ⁡ ( − M − 1 2 2 π d sin ⁡ θ / λ ) ] \begin{aligned} \overline{\mathbf{a}}(\theta)&= e^{\mathrm{j}\frac{M-1}{2}2\pi d\sin\theta/\lambda}\mathbf{Q}\mathbf{a}(\theta) \\ &= \sqrt{2} \begin{bmatrix} \cos\left(\frac{M-1}{2}2\pi d\sin\theta/\lambda\right) \\ \vdots \\ \cos\left(\frac{1}{2}2\pi d\sin\theta/\lambda\right) \\ \sin\left(-\frac{1}{2}2\pi d\sin\theta/\lambda\right) \\ \vdots \\ \sin\left(-\frac{M-1}{2}2\pi d\sin\theta/\lambda\right) \end{bmatrix} \end{aligned} a(θ)​=ej2M−1​2πdsinθ/λQa(θ)=2 ​ ​cos(2M−1​2πdsinθ/λ)⋮cos(21​2πdsinθ/λ)sin(−21​2πdsinθ/λ)⋮sin(−2M−1​2πdsinθ/λ)​ ​​
  当 $M$ 为奇数时，酉矩阵 $\mathbf{Q}$ 的形式为：
Q = 1 2 [ I O J O T 2 O T j J O − j I ] \mathbf{Q} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} \mathbf{I} & \mathbf{O} & \mathbf{J} \\ \mathbf{O}^T & \sqrt{2} & \mathbf{O}^T \\ \mathrm{j}\mathbf{J} & \mathbf{O} & -\mathrm{j}\mathbf{I} \end{bmatrix} Q=2 ​1​ ​IOTjJ​O2 ​O​JOT−jI​ ​
其中 $\mathbf{O}$ 为零矩阵。

进一步理解

  在上一小节中，我整理了论文对于 unitary MUSIC 算法的解释及证明，其核心思想在于酉矩阵 $\mathbf{Q}$ 的提出。在本小节中，我将进一步对 $\mathbf{Q}$ 的作用谈谈自己的理解。
  在论文中，unitary 算法一直强调 $\mathbf{R}$ 的 Hermitian 及 Persymmetric 性质，因为假若 $\mathbf{R}$ 不满足这两个性质，$\mathbf{QR}{\mathbf{Q}}^H$ 将不是实矩阵，但是利用 $\mathrm{Re}(\mathbf{QR}{\mathbf{Q}}^H)$ 来进行后续的估计其实是可以估计角度的。假设 $M=4$ 和 $\phi =2\pi d\sin \theta /\lambda$，展开 $\mathbf{Qa}(\theta )$：
Q a ( θ ) = 2 [ 1 0 0 1 0 1 1 0 0 j − j 0 j 0 0 − j ] [ 1 e − j φ e − j 2 φ e − j 3 φ ] = 2 [ 1 + e − j 3 φ e − j φ + e − j 2 φ j ( e − j φ − e − j 2 φ ) j ( 1 − e − j 3 φ ) ] = 2 e − j 3 2 φ [ e j 3 2 φ + e − j 3 2 φ e j 1 2 φ + e − j 1 2 φ j ( e j 1 2 φ − e − j 1 2 φ ) j ( e j 3 2 φ − e − j 3 2 φ ) ] = 2 e − j 3 2 φ [ cos ⁡ ( 3 2 φ ) cos ⁡ ( 1 2 φ ) sin ⁡ ( − 1 2 φ ) sin ⁡ ( − 3 2 φ ) ] = e − j 3 2 φ a ‾ ( θ ) \begin{aligned} \mathbf{Q}\mathbf{a}(\theta) &= \sqrt{2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & \mathrm{j} & -\mathrm{j} & 0 \\ \mathrm{j} & 0 & 0 & -\mathrm{j} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ e^{-\mathrm{j}\varphi}\\ e^{-\mathrm{j}2\varphi}\\ e^{-\mathrm{j}3\varphi} \end{bmatrix} \\ &=\sqrt{2}\begin{bmatrix} 1 + e^{-\mathrm{j}3\varphi}\\ e^{-\mathrm{j}\varphi} + e^{-\mathrm{j}2\varphi}\\ \mathrm{j}(e^{-\mathrm{j}\varphi} - e^{-\mathrm{j}2\varphi})\\ \mathrm{j}(1 - e^{-\mathrm{j}3\varphi}) \end{bmatrix}\\ &=\sqrt{2}e^{-\mathrm{j}\frac{3}{2}\varphi}\begin{bmatrix} e^{\mathrm{j}\frac{3}{2}\varphi} + e^{-\mathrm{j}\frac{3}{2}\varphi}\\ e^{\mathrm{j}\frac{1}{2}\varphi} + e^{-\mathrm{j}\frac{1}{2}\varphi}\\ \mathrm{j}(e^{\mathrm{j}\frac{1}{2}\varphi} - e^{-\mathrm{j}\frac{1}{2}\varphi})\\ \mathrm{j}(e^{\mathrm{j}\frac{3}{2}\varphi} - e^{-\mathrm{j}\frac{3}{2}\varphi}) \end{bmatrix}\\ &=\sqrt{2}e^{-\mathrm{j}\frac{3}{2}\varphi}\begin{bmatrix} \cos(\frac{3}{2}\varphi) \\ \cos(\frac{1}{2}\varphi) \\ \sin(-\frac{1}{2}\varphi) \\ \sin(-\frac{3}{2}\varphi) \end{bmatrix}\\ &=e^{-\mathrm{j}\frac{3}{2}\varphi}\overline{\mathbf{a}}(\theta) \end{aligned} Qa(θ)​=2 ​ ​100j​01j0​01−j0​100−j​ ​ ​1e−jφe−j2φe−j3φ​ ​=2 ​ ​1+e−j3φe−jφ+e−j2φj(e−jφ−e−j2φ)j(1−e−j3φ)​ ​=2 ​e−j23​φ ​ej23​φ+e−j23​φej21​φ+e−j21​φj(ej21​φ−e−j21​φ)j(ej23​φ−e−j23​φ)​ ​=2 ​e−j23​φ ​cos(23​φ)cos(21​φ)sin(−21​φ)sin(−23​φ)​ ​=e−j23​φa(θ)​
  至此可以得到 $\mathbf{Qa}(\theta )=e^{-\mathrm{j}\frac{M-1}{2}\phi }\overline{\mathbf{a}}(\theta )$，进一步我们可以得到：
$$\mathbf{QA}=e^{-\mathrm{j}\frac{M-1}{2}\phi }\overline{\mathbf{A}}$$
其中 $\overline{\mathbf{A}}\in {\mathbb{R}}^{M\times K}$ 是由 $K$ 个形如 $\overline{\mathbf{a}}(\theta )$ 的实向量组成的矩阵。最后一步，我们可以得到：
$$\begin{array}{rl}\mathbf{QR}{\mathbf{Q}}^H& =\left(e^{-\mathrm{j}\frac{M-1}{2}\phi }\overline{\mathbf{A}}\right){\mathbf{R}}_s\left(e^{\mathrm{j}\frac{M-1}{2}\phi }{\overline{\mathbf{A}}}^T\right)\\ & =\overline{\mathbf{A}}{\mathbf{R}}_s{\overline{\mathbf{A}}}^T\end{array}$$
因此有 $\mathrm{Re}(\mathbf{QR}{\mathbf{Q}}^H)=\overline{\mathbf{A}}\mathrm{Re}({\mathbf{R}}_s){\overline{\mathbf{A}}}^T$，不难看出即使 $\mathbf{R}$ 不满足 Hermitian 及 Persymmetric 性质，仍然不会破坏正交性。
  总的来说，$\mathbf{Q}$ 的作用就是使得方向矢量转为实向量，如此便可以利用协方差矩阵的实部进行后续的计算。

算法步骤

  unitary MUSIC 算法步骤如下（输入为阵列接收矩阵 $\mathbf{X}$）：

1. 计算协方差矩阵 $\mathbf{R}=\frac{1}{T}\mathbf{X}{\mathbf{X}}^H$ 和酉矩阵 $\mathbf{Q}$，接着以 $\mathbf{R}\triangleq \mathbf{QR}{\mathbf{Q}}^H$ 更新协方差矩阵。
2. 对 $\mathbf{R}$ 进行特征值分解，并对特征值进行排序，然后取得 $M-K$ 个较小特征值对应的特征向量来组成噪声子空间 ${\mathbf{U}}_n$。
3. 以下式遍历 $\theta \in [-90^{\circ },90^{\circ }]$：
   $$\begin{array}{c}P(\theta )=\frac{1}{{\overline{\mathbf{a}}}^H(\theta ){\mathbf{U}}_n{\mathbf{U}}_n^T\overline{\mathbf{a}}(\theta )}\end{array}$$
   此时得到一组 $P(\theta )$，$K$ 个最大值对应的 $\theta$ 就是需要返回的结果。

代码实现

clear; close all; clc;

%% Parameters
lambda     = 3e8/1e9;         % wavelength, c/f
d          = lambda/4;        % distance between sensors
theta      = [10,20];         % true DoAs, 1 times K vector
theta      = sort(theta);
M          = 16;              % # of sensors
T          = 500;             % # of snapshots
K          = length(theta);   % # of signals
noise_flag = 1;
SNR        = 0;               % signal-to-noise ratio
grid       = 0.1;             % search grid

%% Signals
R = generateSignal(M,K,T,theta,lambda,d,noise_flag,SNR);

%% DoA 
% unitary-MUSIC
[theta_unitary_music,P_unitary_music] = unitaryMUSIC(R,M,K,lambda,d,grid);

%% plot
figure;
hold on;
ang_list = -90:grid:90;
plot(ang_list, P_unitary_music);
hold off;

function [R,X,A,S] = generateSignal(M,K,T,theta,lambda,d,noise_flag,SNR)
    S = exp(1j*2*pi*randn(K,T)); % signal matrix
    A = exp(-1j*(0:M-1)'*2*pi*d/lambda*sind(theta)); % steering vector matrix
    N = noise_flag.*sqrt(10.^(-SNR/10))*(1/sqrt(2))*(randn(M,T)+1j*randn(M,T)); % noise matrix
    X = A*S+N; % received matrix
    R = X*X'/T; % covariance matrix
end

function [theta,P] = unitaryMUSIC(R,M,K,lambda,d,grid)
    M_half = floor(M/2);
    O = zeros(M_half,1);
    I = eye(M_half);
    J = fliplr(I);
    if mod(M,2) == 0
        Q = [I,J;1j*J,-1j*I]./sqrt(2);
    else
        Q = [I,O,J;O',sqrt(2),O';1j*J,O,-1j*I]./sqrt(2);
    end
    R = real(Q*R*Q');
    [U,~] = svd(R);
    Un = U(:, K+1:M);

    a_list = exp(-1j*(0:M-1).'*2*pi*d/lambda*sind(-90:grid:90));
    a_list = a_list.*exp(1j*(M-1)*ones(M,1)*pi*d/lambda*sind(-90:grid:90));
    a_list = real(Q*a_list);
    P = arrayfun(@(i) 1/norm(Un'*a_list(:,i),'fro'),1:size(a_list,2)); % spectral spectrum grid search
    P = 10*log10(P./max(P));

    [~, idx] = findpeaks(P,'NPeaks',K,'SortStr','descend'); % find K peaks
    theta = sort((idx-1)*grid-90);
end

参考内容

1. Huarng K C, Yeh C C. A unitary transformation method for angle-of-arrival estimation[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 1991, 39(4): 975-977.
2. 【wikipedia】Persymmetric matrix
3. 【wikipedia】Hermitian matrix