【数模百科】一文讲清楚灰色预测模型GM（2，1）的原理（附python代码）
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在学习GM（2，1）之前，强烈建议阅读这篇文章，这里包含了数据分析与检验，和灰色预测模型的基础知识
【数模百科】一篇文章讲清楚灰色预测模型GM（1，1）附python代码-CSDN博客
你已经了解了GM(1,1)模型，它是用来处理和预测只有一个因素（变量）随时间变化情况的模型，而且它是基于一阶微分方程的。这个模型假设数据之间的增长率是恒定的，但是在实际情况中，很多时候数据的增长率并不是一成不变的。
这时候，灰色模型中的GM(2,1)就派上用场了，GM(2,1)模型仍然是针对单一变量的，只不过它使用的是二阶微分方程。那个“2”表示的是模型预测时考虑了数据变化率的变化率，也就是数据增长速度的速度。这样就能让模型更加精细地捕捉数据随时间变化的趋势，尤其是当数据变化不是那么规则，或者有点起起伏伏时。
简单来说，如果你觉得GM(1,1)模型对某些数据的预测不够精确，或者数据的走势有较大的波动，你可能会想尝试用GM(2,1)模型，它通过考虑更复杂的变化趋势来提供可能更精确的预测结果。因此，GM(2,1)模型适用于那些数据变化比较复杂，一阶模型难以准确捕捉其变化趋势的情况。
定义与详解
以下是GM(2,1)模型的构建和求解过程。
-
原始数据序列：
首先，我们有一个原始数据序列，它是时间序列中的观察值
其中
表示第 t 个时刻的观测值。 -
一次累加生成操作（I-AGO）序列
：通过对原始数据序列进行累加，我们得到一次累加序列，这有助于展现数据的增长趋势和结构：
得到
-
生成一次累加逆生成操作（I-IAGO）序列
，是 I-AGO 序列的逆操作，它的目的是从累加序列中重构原始数据序列。基本上，逆生成操作是对累加序列 进行差分，以恢复原始的数据值。
其中，
-
生成
的紧邻均值生成序列 
，紧邻均值生成序列 是通过计算 序列中相邻两个数的平均值得到的，它的目的是用来构建模型方程：
-
建立GM(2,1)模型：
这个方程中的
, 
, 和 b 是我们需要通过数据来估计的参数。 -
建立微分方程模型：基于一次累加序列，我们构建一个包含未知参数的二阶微分方程，即GM(2,1)的白化方程。
其中，
， ，和 b 是模型参数，需要通过数据拟合来确定。 -
求解模型参数：为了估计模型参数，我们构建矩阵 B 和向量 Y ：
参数通过最小二乘估计得到：
-
模型预测：有了模型参数后，我们可以通过解上述微分方程，使用这些参数对未来的数据点进行预测。
-
还原预测结果：将预测的累加序列
通过逆累加生成操作转换回原始数据序列 
，得到预测的原始数据值，以便于与实际观察值进行比较。
这个过程的核心是通过累加操作平滑数据，建立和求解微分方程来预测数据的趋势。GM(2,1)模型特别适合预测少量数据和具有一定发展趋势的时间序列。
代码
import numpy as np
from sympy import symbols, Function, Eq, diff, dsolve
from numpy.linalg import lstsq
t = symbols('t') # 定义符号变量 t
x = Function('x')(t) # 定义函数 x(t)
# 数据初始化
x0 = np.array([41,49,61,78,96,104]) # 输入原始序列
n = len(x0) # 原始序列元素个数
x1 = np.cumsum(x0) # 原始序列的累积和
a_x0 = np.diff(x0) # 对原始序列进行一阶差分
a_x0 = np.concatenate([[0], a_x0]) # 在差分结果前面补0，保持序列长度一致
z = np.zeros(n) # 初始化z序列
for i in range(1, n): # 对每一个元素：
z[i] = 0.5 * (x1[i] + x1[i - 1]) # 计算相邻元素的平均值
# 构建数组 B 和 Y，用于之后的方程求解
B = np.column_stack((-x0[1:], -z[1:], np.ones(n - 1))) # 构建 B，其中包含负的 x0 序列元素（从第二个元素开始）、负的 z 序列元素（从第二个元素开始）以及单位列向量
Y = a_x0[1:] # 构建 Y，由一阶差分序列 a_x0 （从第二个元素开始）
# 求解方程，获得参数 u
u, _, _, _ = lstsq(B, Y, rcond=None) # 运用 Numpy 的最小二乘法 lstsq 求解线性方程得到 u
# 定义微分方程
a1, a2, b, = u[0], u[1], u[2] # 从参数 u 提取所需参数 a1，a2 和 b
diff_eq = Eq(diff(x, t, t) + a1 * diff(x, t) + a2 * x, b) # 定义微分方程
# 设定初始条件
ics = {x.subs(t, 0): x1[0], x.subs(t, 5): x1[-1]} # 设定初始条件为 x(0) = x1[0]，x(5) = x1[5] （注意这里索引是以 0 开始的）
# 解微分方程
solution = dsolve(diff_eq, ics=ics) # 解微分方程
# 运用求解出的微分方程进行预测
yuce = [solution.rhs.subs(t, val).evalf() for val in range(n)] # 对给出的数据序列进行预测
x0_hat = [yuce[0]] + np.diff(yuce).tolist() # 对预测结果的序列计算一阶差分
# 计算预测误差和相对误差
epsilon = x0 - x0_hat # 计算预测值和实际值之间的差，即预测误差
delta = np.abs(epsilon / x0) # 计算绝对比例误差，也就是相对误差这个代码提供了一个基于 GM(2,1) 模型对时间序列数据进行预测的完整工作流程，包含了建模、求解、预测和可视化的各个步骤：
以上仅为模型的参考代码，如果你在实践过程中预测的值相比于原始数据变化幅度过大，说明原始数据可能并不适合该模型。
在实践中，GM(2,1) 模型通常要求数据具有指数趋势，并且估计的参数必须能够合理地反映数据的动态变化。
优缺点
优点：
-
灰色预测模型GM(2,1)具有较高的预测精度和稳定性，能够对非线性、不确定性较强的问题进行较好的预测。
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灰色预测模型不需要大量数据的支持，对数据的要求较低，适用于数据量较小、不完整或缺乏特定背景知识的情况。
缺点：
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灰色预测模型的精确度受到数据质量和特征选择的影响，对于噪声或缺失值较多的数据，预测效果可能较差。
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灰色预测模型通常只能进行短期或中期的预测，对于长期预测可能不太准确。
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灰色预测模型依赖于历史数据，对于预测对象的外部影响因素变化较大或不稳定的情况，预测结果可能不准确。
本篇文章摘录自 数模百科 —— GM（2，1）
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