高中奥数 2021-12-12

2021-12-12-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 单位根及其应用 P050 例1）

已知单位圆的内接正n边形及圆周上一点,求证:.

分析与解

设对应的复数是.又设点(对应的复数)为.则我们有

(最后一步应用),证毕.

2021-12-12-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 单位根及其应用 P051 例2）

设,,及 都是多项式,且

求证:是,,及的公因式.

分析与解

设是一个5次单位根,在(1)中取,得出

这意味着多项式有四个不同的零点,

从而必须.

再将代入(1),得.

于是,,及都有因式,证毕.

2021-12-12-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 单位根及其应用 P051 例3）

求证:不存在四个整系数多项式,使得恒等式

成立.

分析与解

记是三次单位根,则对任意整系数多项式,利用及 可将化为(、是整数),于是(注意)

由于总是偶数,故若存在形如(1)的恒等式,以 代入,即得

这里、都是整数,且是偶数.但由(2)易知,这显然不可能,证毕.