Leetcode 42.接雨水

1.题目描述

给定 n 个非负整数表示每个宽度为 1 的柱子的高度图，计算按此排列的柱子，下雨之后能接多少雨水。

输入：height = [0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1]
输出：6
解释：上面是由数组 [0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1] 表示的高度图，在这种情况下，可以接 6 个单位的雨水（蓝色部分表示雨水）。

输入：height = [4,2,0,3,2,5]
输出：9

• 提示：
  • n == height.length
  • 1 <= n <= 2 * 104
  • 0 <= height[i] <= 105

2.思路分析

2.1 动态规划

对于下标 i，下雨后水能到达的最大高度等于下标 i 两边的最大高度的最小值，下标 i 处能接的雨水量

等于下标 i 处的水能到达的最大高度减去 height[i]。

当前列的雨水面积= min(左边柱子的最高高度, 右边柱子的最高高度) - 当前柱子的高度

具体做法:

• 创建两个长度为n的数组leftMax和rightMax。
  • leftMax[i]:下标i及其左边的位置中height的最大高度
  • rightMax[i]:下标i及其右边的位置中height的最大高度
• leftMax[0] = height[0] rightMax[n-1] = height[n-1]

$$\begin{gathered} leftMax[i]=max(leftMax[i-1],height[i])if1\le i\le n-1 \\ rightMax[i]=max(rightMax[i+1],height[i])if0\le i\le n-2 \end{gathered}$$

• 正向遍历数组 height 得到数组 leftMax 的每个元素值，反向遍历数组 height 得到数组 rightMax

  的每个元素值。

• 遍历结束之后,下标i处能接的雨水量=min(leftMax[i], rightMax[i]) - height[i]

2.2 单调栈

Q1:单调栈内的元素顺序?

维护一个单调栈, 单调栈存储的元素的下标, 栈顶->栈底:递增(小->大)

一旦发现添加的柱子高度大于栈顶元素,此时就会出现凹槽, 栈顶元素就是凹槽底部的柱子, 栈顶的第二个元素就是凹槽左边的柱子, 当前元素就是凹槽右边的柱子。

Q2:遇到相同柱子如何处理?

遇到相同的元素，更新栈内下标，就是将栈里元素(旧下标)弹出，将新元素(新下标)加入栈中。

举个栗子:height= [4,4,1,3], 如果添加第二个5的时候就应该将第一个5的下标弹出，把第二个5添加到栈中。

单调栈的处理逻辑:

• 情况1:当前遍历元素高度 < 栈顶元素的高度, 当前元素入栈(保持 小->大 单调的性质 )

• 情况2: 当前遍历元素高度 == 栈顶元素高度, 更新栈顶元素(遇到相同柱子,使用右边柱子计算高度)

• 情况3: 当前遍历元素高度 > 栈顶元素, 此时出现凹槽, 弹出栈顶元素(凹槽底部柱子, 记为mid), 此时

  栈顶元素(stack.top())(凹槽左边的柱子, height[st.top()]), 当前元素记为凹槽右边的柱子(height[i])

  • 雨水的高度: h = min(height[st.top()], height[i]) - height[mid]
  • 雨水的宽度: w = i - stack.top() -1
  • 凹槽的体积:h * w

2.3 双指针

维护两个指针 left 和 right, 以及两个变量 leftMax 和 rightMax, 初始时 left=0, right=n-1,

leftMax=0,rightMax=0。指针 left 只会向右移动，指针 right 只会向左移动，在移动指针的过程中

维护两个变量 leftMax 和 rightMax 的值。

当两个指针没有相遇时,

• 使用 height[left] 和height[right] 的值更新 leftMax 和rightMax 的值；

• 如果 height[left]

• 如果 height[left]≥height[right]，则必有 leftMax≥rightMax，下标right 处能接的雨水量等于 rightMax−height[right]，将下标 right 处能接的雨水量加到能接的雨水总量，然后将 right 减 1(即向左移动一位)。

当两个指针相遇时，即可得到能接的雨水总量。

举个栗子: height=[0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1]

• 1.left = 0 right = 11 leftMax = 0 rightMax = 1 此时height[left] < height[right], left右移一位
  

• 2.left = 1 right = 11 leftMax = 1 rightMax = 1 此时height[left] = height[right], right左移一位
  

• 3.left = 1 right = 10 leftMax = 1 rightMax = 2 此时height[left] < height[right], left右移一位
  

• 4.left = 2 right = 10 leftMax = 1 rightMax = 2 此时height[left] < height[right], left右移一位
  

• 5.left = 3 right = 10 leftMax = 2 rightMax = 2 此时height[left] = height[right], right左移一位
  

• 6.left = 3 right = 9 leftMax = 2 rightMax = 2 此时height[left] > height[right], right左移一位
  

• 7.left = 3 right = 8 leftMax = 2 rightMax = 2 此时height[left] = height[right], right左移一位
  

• 8.left = 3 right = 7 leftMax = 2 rightMax = 3 此时height[left] < height[right], left右移一位
  

• 9.left = 4 right = 7 leftMax = 2 rightMax = 3 此时height[left] < height[right], left右移一位
  

• 10.left = 5 right =7 leftMax = 2 rightMax = 3 此时height[left] < height[right], left右移一位
  

• 11.left = 6 right =7 leftMax = 2 rightMax = 3 此时height[left] < height[right], left右移一位
  

• 12.遍历结束,返回结果
  

3.代码实现

3.1 动态规划

class Solution:
    def trap(self, height: List[int]) -> int:
        if not height:
            return 0
        n = len(height)
        leftMax = [height[0]] + [0] * (n - 1)
        rightMax = [0] * (n - 1) + [height[n - 1]]
		
        for i in range(1, n):
            leftMax[i] = max(leftMax[i-1], height[i])
        for i in range(n-2, -1, -1):
            rightMax[i] = max(rightMax[i+1], height[i])

        ans = sum(min(leftMax[i], rightMax[i]) - height[i] for i in range(n))
        return ans

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，其中 n 是数组height 的长度。 计算数组 leftMax 和 rightMax 的元素值各需要遍历数组 height 一次，计算能接的雨水总量还需要遍历一次。
• 空间复杂度：O(n)，其中 nn 是数组 height 的长度。需要创建两个长度为 n 的数组 leftMax 和 rightMax。

3.2 单调栈

# 方式1
class Solution:
    def trap(self, height: List[int]) -> int:
        if not height:
            return 0
        result = 0
        stack = [0]

        for i in range(1, len(height)):
            # 情况1:当前元素 < 栈顶元素
            if height[i] < stack[-1]:
                stack.append(i)
            # 情况2:当前元素 == 栈顶元素
            elif height[i] == stack[-1]:
                stack.pop()
                stack.append(i)
            else:  # 情况3:当前元素 > 栈顶元素
                while stack and height[i] > height[stack[-1]]:
                    mid_height = height[stack[-1]]
                    stack.pop()
                    if stack:
                        right_height = height[i]
                        left_height = height[stack[-1]]
                        h = min(left_height, right_height) - mid_height
                        w = i - stack[-1] - 1
                        result += h * w
                stack.append(i)
            return result
# 方式2
class Solution:
    def trap(self, height: List[int]) -> int:
        stack = [0]
        result = 0
        for i in range(1, len(height)):
            while stack and height[i] > height[stack[-1]]:
                mid_height = stack.pop()
                if stack:
                    # 雨水高度是 min(凹槽左侧高度, 凹槽右侧高度) - 凹槽底部高度
                    h = min(height[stack[-1]], height[i]) - height[mid_height]
                    # 雨水宽度是 凹槽右侧的下标 - 凹槽左侧的下标 - 1
                    w = i - stack[-1] - 1
                    # 累计总雨水体积
                    result += h * w
            stack.append(i)
        return result

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，其中 n 是数组 height 的长度。从 0 到 n-1 的每个下标最多只会入栈和出栈各一次。
• 空间复杂度：O(n)，其中 n 是数组 height 的长度。空间复杂度主要取决于栈空间，栈的大小不会超过 n。

3.3 双指针

class Solution:
    def trap(self, height: List[int]) -> int:
        ans = 0
        left, right = 0, len(height) - 1
        leftMax = rightMax = 0

        while left < right:
            leftMax = max(leftMax, height[left])
            rightMax = max(rightMax, height[right])
            if height[left] < height[right]:
                ans += leftMax - height[left]
                left += 1
            else:
                ans += rightMax - height[right]
                right -= 1  
        return ans
# 方式3
class Solution:
    def trap(self, height: List[int]) -> int:
        if not height:
            return 0
        result = 0
        stack = []

        for i in range(len(height)):
            while stack and height[i] > height[stack[-1]]:
                mid_height = height[stack.pop()]
                if stack:
                    h = min(height[stack[-1]], height[i]) - mid_height
                    w = i - stack[-1] - 1
                    result += h * w
            stack.append(i)
        return result

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，其中 n 是数组 height 的长度。两个指针的移动总次数不超过 n。
• 空间复杂度：O(1)。只需要使用常数的额外空间。

参考:

1.https://leetcode.cn/problems/trapping-rain-water/solution/jie-yu-shui-by-leetcode-solution-tuvc/