【算法】走廊泼水节(最小生成树,完全图)

题目

给定一棵 N 个节点的树,要求增加若干条边,把这棵树扩充为完全图,并满足图的唯一最小生成树仍然是这棵树。

求增加的边的权值总和最小是多少。

注意: 树中的所有边权均为整数,且新加的所有边权也必须为整数。

输入格式

第一行包含整数 t,表示共有 t 组测试数据。

对于每组测试数据,第一行包含整数 N。

接下来 N−1 行,每行三个整数 X,Y,Z,表示 X 节点与 Y 节点之间存在一条边,长度为 Z。

输出格式

每组数据输出一个整数,表示权值总和最小值。

每个结果占一行。

数据范围

1≤N≤6000
1≤Z≤100

输入样例:

2
3
1 2 2
1 3 3
4
1 2 3
2 3 4
3 4 5 

输出样例:

4
17 

思路

从小到大依次遍历所有树边,若遍历到连接团N与团M的树边长为w,需要添加(N * M)- 1条长为w + 1的边使连接之后的团成为完全图。如下图所示:

【算法】走廊泼水节(最小生成树,完全图)_第1张图片

关键代码如下:

【算法】走廊泼水节(最小生成树,完全图)_第2张图片

代码 

#include
using namespace std;
const int N = 6e3 + 10;
typedef pair> PII;
int n;

int p[N];
int cnt[N];

int find(int x)
{
    if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

void solve()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) p[i] = i,cnt[i] = 1;
    priority_queue,greater<>> heap;
    
    for(int i = 1; i < n; i ++)
    {
        int x,y,dist;
        cin >> x >> y >> dist;
        heap.push({dist,{x,y}});
    }
    int ans = 0;
    while(!heap.empty())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();
        int x = find(t.second.first);
        int y = find(t.second.second);
        int dist = t.first;
        ans += (dist + 1) * (cnt[x] * cnt[y] - 1);
        p[x] = y;
        cnt[y] += cnt[x];
    }
    cout << ans << endl;
}

int main()
{
    int t;
    cin >> t;
    while(t --)
        solve();
    return 0;
}
难度:中等
时/空限制:1s / 64MB
总通过数:6735
总尝试数:10984
来源:《算法竞赛进阶指南》
算法标签

图论     ​​​​​​最小生成树     Kruskal

题目来自:346. 走廊泼水节 - AcWing题库

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