【算法】走廊泼水节（最小生成树，完全图）

题目

给定一棵 N 个节点的树，要求增加若干条边，把这棵树扩充为完全图，并满足图的唯一最小生成树仍然是这棵树。

求增加的边的权值总和最小是多少。

注意： 树中的所有边权均为整数，且新加的所有边权也必须为整数。

输入格式

第一行包含整数 t，表示共有 t 组测试数据。

对于每组测试数据，第一行包含整数 N。

接下来 N−1 行，每行三个整数 X,Y,Z，表示 X 节点与 Y 节点之间存在一条边，长度为 Z。

输出格式

每组数据输出一个整数，表示权值总和最小值。

每个结果占一行。

数据范围

1≤N≤6000
1≤Z≤100

输入样例：

2
3
1 2 2
1 3 3
4
1 2 3
2 3 4
3 4 5 

输出样例：

4
17 

思路

从小到大依次遍历所有树边，若遍历到连接团N与团M的树边长为w，需要添加（N * M）- 1条长为w + 1的边使连接之后的团成为完全图。如下图所示：

关键代码如下：

代码 

#include
using namespace std;
const int N = 6e3 + 10;
typedef pair> PII;
int n;

int p[N];
int cnt[N];

int find(int x)
{
    if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

void solve()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) p[i] = i,cnt[i] = 1;
    priority_queue,greater<>> heap;
    
    for(int i = 1; i < n; i ++)
    {
        int x,y,dist;
        cin >> x >> y >> dist;
        heap.push({dist,{x,y}});
    }
    int ans = 0;
    while(!heap.empty())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();
        int x = find(t.second.first);
        int y = find(t.second.second);
        int dist = t.first;
        ans += (dist + 1) * (cnt[x] * cnt[y] - 1);
        p[x] = y;
        cnt[y] += cnt[x];
    }
    cout << ans << endl;
}

int main()
{
    int t;
    cin >> t;
    while(t --)
        solve();
    return 0;
}

难度：中等

时/空限制：1s / 64MB

总通过数：6735

总尝试数：10984

来源：《算法竞赛进阶指南》

算法标签 图论     ​​​​​​最小生成树     Kruskal

题目来自：346. 走廊泼水节 - AcWing题库