数学建模 | 第一章 线性规划例题

第一章 线性规划例题篇

例1.1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为 4000 元与 3000 元。生产甲机床需用A、B机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用A、B、C三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A机器10小时、B机器8小时和C机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？

解：决策变量应设该厂生产x₁台甲机床和x₂台乙机床时总利润最大，则x₁和x₂应满足：

$max$ $z=4x_1+3x_2,$

$s.t.=\{\begin{array}{l}2x_1+x_2\le 10,\\ x_1+x_2\le 8,\\ x_2\le 7,\\ x_1,x_2\ge 0。\end{array}$

化为Matlab标准型，即：

$min$ $w=-4x_1-3x_2,$

s . t . = { [ 2 1 1 1 0 2 ] [ x 1 x 2 ] ≤ [ 10 8 7 ] , [ x 1 x 2 ] T ≥ [ 0 0 ] T 。 s.t.=\begin{cases}\left[\begin{matrix}2&1\\1&1\\0&2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_1\\x_2\end{matrix}\right]\leq\left[\begin{matrix}10\\8\\7\end{matrix}\right],\\\left[\begin{matrix}x_1&x_2\end{matrix} \right]^T\geq\left[\begin{matrix}0&0\end{matrix}\right]^T。\end{cases} s.t.=⎩ ⎨ ⎧​ ​210​112​ ​[x1​x2​​]≤ ​1087​ ​,[x1​​x2​​]T≥[0​0​]T。​

答案：求得的最优解为x₁=3.25，x₂=3.5，对应的最优值z=23.5。

求解的Matlab程序为：

c = [-4,-3];
a = [2,1;1,1;0,2];
b = [10,8,7];
[x,y] = linprog(c,a,b,[],[],zeros(2,1))
x,y=-y

求解的Lingo程序为：

model:

sets:
col/1..2/:c,x;
row/1..3/:b;
lingks(row,col):a;
endsets

data:
c = 4 3;
a = 2 1 1 1 0 2;
b = 10 8 7;
enddata

max=@ sum(col:c*x);
@ for(row(i):@ sum(col(j):a(i,j)*x(j))<b(i));

end 

例1.2 求解下列线性规划问题
$max$ $z=2x_1+3x_2-5x_3,$
$s.t.=\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=7,\\ 2x_1-5x_2+x_3\ge 10,\\ x_1+3x_2+x_3\le 12,\\ x_1,x_2,x_3\ge 0。\end{array}$

解：化为Matlab标准型，即：

$min$ $w=-2x_1-3x_2+5x_3,$
s . t . = { [ − 2 5 − 1 1 3 1 ] [ x 1 x 2 x 3 ] ≤ [ − 10 12 ] , [ 1 1 1 ] ⋅ [ x 1 x 2 x 3 ] T = 7 , [ x 1 x 2 x 3 ] T ≥ [ 0 0 0 ] T 。 s.t.=\begin{cases}\left[\begin{matrix}-2&5&-1\\1&3&1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\end{matrix}\right]\leq\left[\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right],\\\left[\begin{matrix}1&1&1\end{matrix} \right]·\left[\begin{matrix}x_1&x_2&x_3\end{matrix}\right]^T=7,\\\left[\begin{matrix}x_1&x_2&x_3\end{matrix} \right]^T\geq\left[\begin{matrix}0&0&0\end{matrix}\right]^T。\end{cases} s.t.=⎩ ⎨ ⎧​[−21​53​−11​] ​x1​x2​x3​​ ​≤[−1012​],[1​1​1​]⋅[x1​​x2​​x3​​]T=7,[x1​​x2​​x3​​]T≥[0​0​0​]T。​

答案：求得的最优解为x₁=6.4286，x₂=0.5714，x₃=0，对应的最优值z=14.5714

求解的Matlab程序为：

c=[-2;-3;5]; 
a=[-2,5,-1;1,3,1]; 
b=[-10;12]; 
aeq=[1,1,1]; 
beq=7; 
[x,y]=linprog(c,a,b,aeq,beq,zeros(3,1)) 
x,y=-y  % 最终解加负号，转换为最大值

求解的Lingo程序为：

model:

	sets:
	row/1..2/:b;
	col/1..3/:c,x;
	lingks(row,col):a;
	endsets

	data:
	c = 2 3 -5;
	a = -2 5 -1 1 3 1;
	b = -10 12;
	enddata

	max=@ sum(col:c*x);
	@ for(row(i):@ sum(col(j):a(i,j)*x(j))<b(i));
	@ sum(col:x)=7;

end 

例1.3 求解下列线性规划问题
$min$ $z=2x_1+3x_2+x_3,$
$s.t.=\{\begin{array}{l}{x}_1+4x_2+2x_3\ge 8,\\ 3x_1+2x_2\ge 6,\\ x_1,x_2,x_3\ge 0。\end{array}$

解：因为问题本身求解的是min值，所以无需再次化为Matlab标准型

答案：求得的最优解为x₁=0.8066，x₂=1.7900，x₃=0.0166，对应的最优值z=7.0000

求解的Matlab程序为：

c=[2;3;1]; 
a=[1,4,2;3,2,0]; 
b=[8;6];  
[x,y]=linprog(c,-a,-b,[],[],zeros(3,1)) %这里没有等式约束，所以为两个【】【】

求解的Lingo程序为：

model:

	sets:
	row/1..2/:b;
	col/1..3/:c,x;
	lingks(row,col):a;
	endsets
	
	data:
	c = 2 3 1;
	a = 1 4 2 3 2 0;
	b = 8 6;
	enddata
	
	min=@ sum(col:c*x);
	@ for(row(i):@sum(col(j):a(i,j)*x(j))>b(i));

end 

例1.4 求解下列数学规划问题
$min$ $z=|x_1|+2|x_2|+3|x_3|+4|x_4|,$
$s.t.=\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2+x_3-x_4\le -2,\\ x_1-x_2+x_3-3x_4\le -1,\\ x_1-x_2-2x_3+3x_4\le -0.5。\end{array}$

解：做变量变换$u_i=\frac{x_i+|x_i|}{2}$和$v_i=\frac{|x_i|-x_i}{2}$，$i=1,2,3,4$，并把新变量重新排序成一维向量$y=\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]={\left[\begin{array}{c}{u}_1,\dots ,u_4,v_1,\dots v_4\end{array}\right]}^T$，则可把模型变换为线性规划模型：
$min$ ${\left[\begin{array}{c}1,2,3,4,1,2,3,4\end{array}\right]}^{T}y$
$s.t.=\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{cc}A& -A\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]\le {\left[\begin{array}{ccc}-2& -1& -0.5\end{array}\right]}^T,\\ y\ge 0。\end{array}$
其中 A = [ 1 − 1 − 1 1 1 − 1 1 − 3 1 − 1 − 2 3 ] A=\left[\begin{matrix}1&-1&-1&1\\1&-1&1&-3\\1&-1&-2&3\end{matrix}\right] A= ​111​−1−1−1​−11−2​1−33​ ​

答案：求得的最优解为x₁=-2，x₂=x₃=x₄=0，对应的最优值z=-2

求解的Matlab程序为：

clc,clear
c=1:4;c=[c,c]'; %构造价值列向量
a=[1 -1 -1 1;1 -1 1 -3;1 -1 -2 3];
a=[a,-a]; %构造变换后新的系数矩阵
b=[-2 -1 -1/2]';
[y,z]=linprog(c,a,b,[],[],zeros(8,1)) %这里没有等式约束，对应的矩阵为空矩阵
x=y(1:4)-y(5:end) %变换到原问题的解，x=u-v

求解的Lingo程序为：

model:

	sets:
	row/1..2/:b;
	col/1..3/:c,x;
	lingks(row,col):a;
	endsets
	
	data:
	c = 2 3 1;
	a = 1 4 2 3 2 0;
	b = 8 6;
	enddata
	
	min=@ sum(col:c*x);
	@ for(row(i):@sum(col(j):a(i,j)*x(j))>b(i));

end 

例1.5 求解下列线性规划问题
$min$ $z=x_1+x_2,$
$s.t.=\{\begin{array}{l}2x_1+4x_2=5,\\ x_1\ge 0,x_2\ge 0。\end{array}$

解：显然这是一个简单的二元一次方程联立求解，之所以此处有本例题，旨在说明该线性规划问题有最优实数解，但是对应的整数规划无可行解。

答案：求得的最优解为x₁=0，x₂=1.25，对应的最优值z=1.25

例1.6 求解下列线性规划问题
$min$ $z=x_1+x_2,$
$s.t.=\{\begin{array}{l}2x_1+4x_2=6,\\ x_1\ge 0,x_2\ge 0。\end{array}$

解：同例1.5，本例题旨在说明该线性规划问题有最优实数解，若限制为整数，有可行解但最优解值变差。

答案：求得的最优解为x₁=0，x₂=1.5，对应的最优值z=1.5；若限制为整数，得x₁=1，x₂=1，对应的最优值z=2

例1.7 （随机取样法）$y=x^2$、$y=12-x$与$x$轴在第一象限围成一个曲边三角形。设计一个随机实验，求该图形面积的近似值。

解：设计的随机试验的思想如下：在矩形区域$[0,12]\times [0,9]$上产生服从均匀分布的10⁷个随机点，统计随机点落在曲边三角形的频数，则曲边三角形的面积近似为上述矩阵的面积乘以频率。

答案：该图形面积的近似值在49.5附近，由于是随机模拟，每次的结果都是不一样的。

求解的Matlab程序为：

clc,clear
x=unifrnd(0,12,[1,10000000]);
y=unifrnd(0,9,[1,10000000]);
pinshu=sum(y<x.^2&x<=3)+sum(y<12-x&x>=3);
area_appr=12*9*pinshu/10^7

例1.8 （指派问题）求解下列指派问题，已知指派矩阵为
[ 3 8 2 10 3 8 7 2 9 7 6 4 2 7 5 8 4 2 3 5 9 10 6 9 10 ] \left[\begin{matrix}3&8&2&10&3\\8&7&2&9&7\\6&4&2&7&5\\8&4&2&3&5\\9&10&6&9&10\end{matrix}\right] ​38689​874410​22226​109739​375510​ ​

解：这里需要把二维决策变量$x_{ij}(i,j=1,\dots 5)$变成一维决策变量$y_k(k=1,\dots ,25)$。

答案：求得的最优指派方案为$x_{15}=x_{23}=x_{32}=x_{44}=x_{51}=1$，最优值为21。

求解的Matlab程序为：

clc,clear
c=[3 8 2 10 3;8 7 2 9 7;6 4 2 7 5;8 4 2 3 5;9 10 6 9 10];
c=c(:);a=zeros(10,25);intcon=1:25;
for i=1:5
	a(i,(i-1)*5+1:5*i)=1;
	a(5+i,i:5:25)=1;
end
b=ones(10,1);lb=zeros(25,1);ub=ones(25,1);
x=intlinprog(c,intcon,[],[],a,b,lb,ub);
x=reshape(x,[5,5])

求解的Lingo程序为：

model:

	sets:
	var/1..5/;
	link(var,var):c,x;
	endsets
	
	data:
	c=3 8 2 10 3
		8 7 2 9 7
		6 4 2 7 5
		8 4 2 3 5
		9 10 6 9 10;
	enddata

	min=@ sum(link:c*x);
	@ for(var(i):@ sum(var(j):x(i,j))=1);
	@ for(var(j):@ sum(var(i):x(i,j))=1);
	@ for(link:@ bin(x));
	
end 

例1.9 （混合整数规划问题）求解如下的混合整数规划问题
$min$ $z=-3x_1-2x_2-x_3$,
$s.t.=\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3\le 7,\\ 4x_1+2x_2+x_3=12,\\ x_1,x_2\ge 0,\\ x_3=0或1。\end{array}$

答案：求得的最优解为$x_1=0$，$x_2=5.5$，$x_3=1$，最优值为$z=-12$。

求解的Matlab程序为：

clc,clear
c=[-3;-2;-1];intcon=3; % 整数变量的地址
a=ones(1,3);b=7;
aeq=[4 2 1];beq=12;
lb=zeros(3,1);ub=[inf;inf;1]; % x(3)为0-1变量
x=intlinprog(c,intcon,a,b,aeq,beq,lb,ub)

例1.10 （蒙特卡洛法）已知非线性整数规划为
$max$ $z={x_1}^2+{x_2}^2+3{x_3}^2+4{x_4}^2+2{x_5}^2-8x_1-2x_2-3x_3-x_4-2x_5$
$s.t.=\{\begin{array}{l}0\le x_i\le 99,i=1,\dots ,5,\\ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5\le 400,\\ x_1+2x_2+2x_3+x_4+6x_5\le 800,\\ 2x_1+x_2+6x_3\le 200,\\ x_3+x_4+5x_5\le 200。\end{array}$

解：如果用显枚举法试探，则共需计算$(100{)}^5=10^{10}$个点，其计算量非常之大。然而应用蒙特卡洛去随机计算10⁶个点，便可找到满意解，那么这种方法的可信度究竟怎样呢？下面就随机取样采集10⁶个点计算，应用概率理论来估计一下可信度。
不失一般性，假定一个整数规划的最优点不是孤立的奇点。
假设目标函数落在高值区的概率分别为0. 01、0. 00001,则当计算10⁶个点后，至少有一个点能落在高值区的概率分别为1-0. 99^1000000≈0. 99···99(100多位)，1-0.99999^1000000≈0.999954602。

答案：使用Lingo求得的全局最优解为$x_1=50$，$x_2=99$，$x_3=0$，$x_4=99$，$x_5=20$，最优值为$z=52368$；使用Matlab求得的因为是随机模拟，所以每次的运行结果都是不一样的。

（1）首先编写M文件mente.m定义目标函数f和约束向量函数g，程序如下：

function[f,g]=mengte(x);
f=x(1)^2+x(2)^2+3*x(3)^2+4*x(4)^2+2*x(5)^2-8*x(1)-2*x(2)-3*x(3)-x(4)-2*x(5);
g=[sum(x)-400
x(1)+2*x(2)+2*x(3)+x(4)+6*x(5)-800
2*x(1)+x(2)+6*x(3)-200
x(3)+x(4)+5*x(5)-200];

（2）求解的Matlab程序为：

rand('state',sum(clock)); % 初始化随机数发生器
p0=0;
tic % 计时开始
for i=1:10^6
	x=randi([0,99],1,5); % 产生一行五列的区间[0,99]上的随机整数
	[f,g]=mengte(x);
	if all(g<=0)
		if p0<f
			x0=x;p0=f; % 记录下当前较好的解
		end
	end
end
x0,p0
toc % 计时结束	

（3）求解的Lingo程序为：

model:

	sets:
	row/1..4/:b;
	col/1..5/:c1,c2,x;
	link(row,col):a;
	endsets

	data:
	c1=1,1,3,4,2;
	c2=--8,-2,-3,-1,-2;
	a=1 1 1 1 1
		1 2 2 1 6
		2 1 6 0 0 
		0 0 1 1 5;
	b=400,800,200,200;
	enddata

	max=@ sum(col:c1*x^2+c2*x);
	@ for(row(i):@ sum(col(j):a(i,j)*x(j))<b(i));
	@ for(col:@ gin(x));
	@ for(col:@ bnd(0,x,99));

end