动态规划之完全背包问题

背包问题是动态规划中的经典题型之一，需要反复咀嚼，感受它的魅力。本文以LeetCode 512 零钱兑换II为例进行讲解：

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思路

1. 对于动态规划类题目首先要分析题目中有哪几种状态和选择。以零钱兑换II为例，状态有两种：硬币面值种类和金额大小。选择也有两种：当前的硬币是否“放入”金额这个容器内（放或者不放）。
2. 然后确定数组的含义，这一步至关重要，不同的含义会导致后面的操作完全不一样。本题是计算用所给不同面值的硬币凑成当前金额的方式有多少种，所以数组定义为在使用前种面值的硬币时，总共有多少种方式可以凑出当前金额。
   每当“物品”要放入到“金额”这个口袋中时，有两种情况：

• 当口袋的剩余容量不小于物品的重量（硬币的价值），有两种操作方式：选择放入或者选择不放入。
• 当口袋的剩余容量小于物品的重量（隐蔽的价值），此时只能选择不放入。
  根据以上两种情况，可以写出相关的伪代码：

if (j > coins[i])
    选择将当前面值的硬币放入金额口袋
    或者
    选择不将当前面值的硬币放入金额口袋
else
    只有一种选择，不将当前面值的硬币放入金额口袋

3. 思考状态转移

• 将第种硬币放入剩余容量为的口袋内时，此时的结果取决于第种硬币放入剩余容量为的口袋内的组合数，即
• 不将第种硬币放入剩余容量为的口袋内时，此时的结果取决于上一种硬币放入剩余容量为的口袋内的组合数，即
• 当前口袋容量不小于当前硬币面值时，有两种可能的操作，所以此时的
• 当前口袋容量小于当前硬币面值时，只能有一种“不放回”操作，所以此时的

4. 边界条件
   一般情况下，状态有几种就需要考虑几种边界条件。当硬币面值的种类数为0时，对于任意非0金额口袋肯定是装不满的。当金额口袋容量为0时，我们不需要任何操作就相当于装满了这个口袋。

##边界条件
for (int i=0; i<=n; i++)
  dp[i][0] = 1;
for (int i =0; i<=amount; i++)
  dp[0][i] = 0;

5. 编写代码

int change(int amount, vector& coins) {
        int n = coins.size();
        if (amount == 0 && n == 0) return 1;
        vector>dp(n+1, vector(amount+1));
        for (int i=0; i=0)
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-coins[i-1]];
                else
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
            }
        }
        return dp[n][amount];

    }